给定一个整数 N (1 ≤ N ≤ 10^15)，我们的任务是统计 1 到 N 之间所有整数的二进制表示中，数字 1 出现的总次数。
示例：
> 输入： N = 7
> 输出： 12
> 说明:
>
> 1 的二进制表示：001 -> 置位数 = 1
> 2 的二进制表示：010 -> 置位数 = 1
> 3 的二进制表示：011 -> 置位数 = 2
> 4 的二进制表示：100 -> 置位数 = 1
> 5 的二进制表示：101 -> 置位数 = 2
> 6 的二进制表示：110 -> 置位数 = 2
> 7 的二进制表示：111 -> 置位数 = 3
>
> 因此，1 的总个数为 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 = 12。
>
> 输入： N = 5
> 输出： 7
> 说明：
>
> 1 的二进制表示：001 -> 置位数 = 1
> 2 的二进制表示：010 -> 置位数 = 1
> 3 的二进制表示：011 -> 置位数 = 2
> 4 的二进制表示：100 -> 置位数 = 1
> 5 的二进制表示：101 -> 置位数 = 2
>
> 因此，1 的总个数为 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 7。
解题思路： 为了解决这个问题，我们可以遵循以下思路：
如果输入的数字 N 的形式为 2^b – 1 （例如 1, 3, 7, 15… 等），那么置位数的总数就是 b 2^(b-1)。这是因为对于 0 到 (2^b) – 1* 之间的所有数字，如果我们对列表进行补码和反转，最终会得到相同的列表（即一半的位是开启的，一半是关闭的）。
如果数字并非所有位都为 1，那么我们会找到某个位置 m 作为最左侧置位的位置。该位置上的置位数量为 n – (1 << m) + 1。剩下的置位分为两部分：
- 处于 (m-1) 位置上的位，直到最左侧的位变为 0 的那一点，以及
- 处于该点之下的 2^(m-1)个数字，这对应上述的闭式公式。
让我们以数字 6 为例：
0|0 0
0|0 1
0|1 0
0|1 1
-|--
1|0 0
1|0 1
1|1 0
最左侧的置位位于位置 2（位置从 0 开始计算）。如果我们将其掩码掉，剩下的是 2（最后一行右侧部分的“1 0”）。所以，第 2 个位置（左下角的框）的位数是 3（即 2 + 1）。来自 0-3 的置位（右上角的框）是 2*2^(2-1) = 4。右下角的框包含我们尚未计算的剩余位，即所有数字直到 2 的置位数（右下角框中最后一个条目的值），这部分可以通过递归计算得出。
下面是该算法的实现：
C++
INLINECODE82ca7ef3`INLINECODE5b627a3a`