泰勒级数通过将一个函数表示为无限项之和来描述它，这些项是根据函数在某一点的导数值计算出来的。
- 它是一个强大的数学工具，用于通过从函数在某一点的导数推导出的无限项之和来近似复杂的函数。
- 泰勒级数展开中的每一后续项，其指数或次数都比前一项更大。
- 我们通常取前四、五项之和来求函数的近似值，但我们总是可以取更多的项以获得函数的精确值。
- 求函数的近似值在机器学习、经济学、物理学、医学和生物医学工程等许多领域都有帮助。
对于实数复合函数 f(x)，如果其在某个闭合邻域内可导，其泰勒级数展开式为：
> f(x) = f(a) + \frac{f‘(a)}{1!}(x – a) + \frac{f‘‘(a)}{2!}(x – a)^2 + \frac{f‘‘‘(a)}{3!}(x – a)^3 + \cdots
其中，
- f(x) 是实值或复值函数，且是无限可微的
- n 是函数求导的次数
- f(n) 是函数 f(x) 的 n 阶导数
用 Sigma（求和）符号表示的泰勒级数如下，
!1
泰勒级数公式用于求任何函数在特定值附近的值。假设我们需要求实数复合函数 f(x) 在点 a 处的值，且函数的微分在函数的闭合邻域内有定义。
泰勒级数定理的陈述如下：
对于一个在数邻域内可微的实值或复值函数 f(x)，其泰勒级数为，
f(x) = f(a) + \frac{f‘(a)}{1!}(x – a) + \frac{f‘‘(a)}{2!}(x – a)^2 + \frac{f‘‘‘(a)}{3!}(x – a)^3 + \cdots…+\frac{ f^n(x)}{n!}(x-a)^n
其中 f n (a) = f 的 n 阶导数
证明
> 我们知道幂级数定义为，
> f(x) = ∑ anx^n = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + … (i)
>
> 其中， 0 ≤ n < ∞
> 当 x = 0 时
> f(x) = ao
>
> 对方程 中的函数 f(x) 进行微分，我们得到：
> f‘(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3 … (ii)
>
> 在 f‘(x) 中代入 x = 0
> f‘(0) = a1
>
> 再次对方程 求导，
> f‘‘(x) = 2a2 + 6a3x + 12a_4x^2 + …
>
> 在 f‘‘(x) 中代入 x = 0
> f‘‘(0) = 2a2
> \frac{f‘‘(0)}{2!} =\frac{ 2a2}{2} = a2
> 同理， \frac {f^n(0)}{n!} = a_n
>
> 现在将所有这些值代入方程
> f(x) = f(0) + f‘(0)x + \frac{f‘‘(0)}{2!(x)^2} + \frac{f‘‘‘(0)}{3!x^3 }+ …
>
> 推广函数 f(x)，我们得到，
>
> f(x) = b + b1(x-a) + b2(x-a)^2 + b_3(x-a)^3 + …
>
> 现在令 x =a，
> b_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}
>
> 将 bn 的值代入 f(x) 的推广形式中
> f(x) = f(a) +\frac{ f‘(a)}{1!} + \frac{f‘‘(a)}{2!}^2 +…
这证明了泰勒级数。
让我们取函数 f(x) = sin x
f’(x) = cos x
f’’(x) = -sin x
f’’’(x) = -cos x
f’’’’(x) = sin x
sin x 在 x = 0 处的泰勒级数为，
!2
让我们取函数 f(x) = cos x
f’(x) = -sin x
f’’(x) = -cos x
f’’’(x) = sin x
f’’’’(x) = -cos x
cos x 在 x = 0 处的泰勒级数为，
!3
泰勒级数也可以表示多元函数。多元函数泰勒级数的一般形式是，
麦克劳林级数
我们知道泰勒级数是，
f(x) = f(a) + \frac{f‘(a)}{1!}(x – a) + \frac{f‘‘(a)}{2!}(x – a)^2 + \frac{f‘‘‘(a)}{3!}(x – a)^3 + \cdots…+\frac{ f^n(x)}{n!}(x-a)^n
如果泰勒级数以 x = 0 为中心，即在 x = 0 处求 f(x) 的值，那么这个级数就称为麦克劳林级数。
那么麦克劳林级数为，
> f(x) = f(0) + \frac{f‘(0)‘}{1!} + \frac{f‘‘(0)}{2!}^2 + \frac{f‘‘‘(0)}{3!}^3 +…+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n
上述级数被称为麦克劳林级数。
示例： ex 的麦克劳林级数为，
> e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .
泰勒级数在工程中有广泛的应用，包括：
- 数值分析：用于通过多项式近似来近似函数和求解微分方程。
- 信号处理：：有助于信号近似和滤波，降低计算复杂性。
- 控制系统：：线性化非线性系统，简化控制器的设计和分析。
- 计算