Strassen 算法是一种高效的矩阵乘法方法。它通过将矩阵分解为更小的子矩阵并执行递归乘法，减少了两个矩阵相乘所需的算术运算次数。Strassen 算法基于分治法，对于处理大型矩阵特别有用。
Strassen 算法步骤:
- 如果矩阵的尺寸足够小（例如 1×1 或 2×2），则执行标准的矩阵乘法。
- 将每个输入矩阵划分为四个大小相等的子矩阵。
- 使用加法和减法运算计算这些子矩阵的七个乘积。
- 使用这些乘积以及加法和减法运算来计算结果矩阵的四个象限。
Strassen 算法是如何工作的？
让我们考虑两个矩阵：
A = [[1, 3], [7, 5]]
B = [[6, 8], [4, 2]]
我们需要计算乘积 C=A×B。
- 初始化：
- 从两个输入矩阵 A 和 B 开始。
- 基准情况检查：
- 由于矩阵 A 和 B 都是 2×2 的，这足够小，我们执行标准的矩阵乘法。
- 划分矩阵：
- 将矩阵 A 和 B 各划分为四个子矩阵：
- A11=[1], A12=[3], A21=[7], A22=[5]
- B11=[6], B12=[8], B21=[4], B22=[2]
- 递归乘法：
- 递归地计算七个乘积：
- P1=A11×(B12−B22)=1×(8−2)=6
- P2=(A11+A12)×B22=(1+3)×2=8
- P3=(A21+A22)×B11=(7+5)×6=72
- P4=A22×(B21−B11)=5×(4−6)=−10
- P5=(A11+A22)×(B11+B22)=(1+5)×(6+2)=36
- P6=(A12−A22)×(B21+B22)=(3−5)×(4+2)=−12
- P7=(A11−A21)×(B11+B12)=(1−7)×(6+8)=−96
- 合并结果：
- 计算结果矩阵 C 的四个象限：
- C11=P5+P4−P2+P6=36+(−10)−8+(−12)=6
- C12=P1+P2=6+8=14
- C21=P3+P4=72+(−10)=62
- C22=P5+P1−P3−P7=36+6−72−(−96)=66
示例输出:
结果矩阵 C (A×B 的结果) 为：
C = [[6, 14],
[62, 66]]
Python
CODEBLOCK_8c848214
Output
Matrix C (Result of A * B):
[[18 14]
[62 66]]
复杂度分析:
- 时间复杂度： Strassen 算法的时间复杂度大约为 O(n^2.81)，其中 n 是矩阵的大小。虽然它减少了乘法的次数，但增加了加法和减法的次数。
- 空间复杂度： Strassen 算法的空间复杂度为 O(n^2)，这是因为递归调用以及为子矩阵所需的额外空间。