矩阵的伴随（或称伴随矩阵）是给定矩阵的余子矩阵的转置矩阵。对于任何方阵 A，要计算其伴随矩阵，我们必须首先计算给定矩阵的余子矩阵，然后求其行列式。
矩阵的伴随公式如下：
> adj(A) = [Cij]T
>
> 其中 Cij 是元素 aij 的余子式。
计算伴随的步骤
要计算矩阵的伴随，请按照以下步骤进行：
> 步骤 1：计算给定矩阵 A 中所有元素的子式。
> 步骤 2： 使用子式元素求出余子矩阵 C。
> 步骤 3： 通过对余子矩阵 C 进行转置，求出 A 的伴随矩阵。
矩阵的子式
矩阵中元素 aij 的子式是通过移除包含该元素的行和列，然后求解剩余子矩阵的行列式来计算得到的。
求子式的步骤：
> 步骤 1： 选择你想要求解子式的元素 aij。
> 步骤 2： 移除包含 aij 的行和列。
> 步骤 3： 计算结果子矩阵的行列式。这就是子式 Mij 。
对于 2×2 矩阵，子式就是移除该元素的行和列后剩下的 1×1 矩阵的行列式。
矩阵的余子式
余子式是我们在矩阵中移除指定元素的列和行后得到的数值。这意味着从矩阵中取出一个元素，并删除该元素所在的整行和整列；该矩阵中剩下的元素形成的数值就被称为余子式。
如何求矩阵的余子式
要找到矩阵中某个元素的余子式，我们可以使用以下步骤：
> 步骤 1： 删除包含目标元素的整行和整列。
> 步骤 2： 保留步骤 1 后矩阵中剩余的元素。
> 步骤 3： 求解步骤 2 中形成的矩阵的行列式，这被称为该元素的子式。
> 步骤 4： 现在使用元素 aij 的余子式公式，即 (-1)i+j Mij，其中 Mij 是第 i 行第 j 列元素的子式，已在步骤 3 中计算得出。
> 步骤 5： 步骤 4 的结果就是目标元素的余子式。类似地，我们可以计算矩阵中每个元素的余子式，从而找到给定矩阵的余子矩阵。
例题： 求解 \bold{A =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 4 & 5 \\ 6 & 8 & 9 \end{bmatrix}} 的余子矩阵。
解：
> 给定矩阵是 A =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 4 & 5 \\ 6 & 8 & 9 \end{bmatrix}
>
> 让我们求解第一行第三列元素（即 3）的余子式。
>
> 步骤 1： 删除包含目标元素的整行和整列。
> 即，\begin{bmatrix} \sout{1} & \sout{2} & \sout{3}\\ 7 & 4 & \sout{5} \\ 6 & 8 & \sout{9} \end{bmatrix}
>
> 步骤 2： 保留步骤 1 后矩阵中剩余的元素。
> 即，\begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}
>
> 步骤 3： 求解步骤 2 中形成的矩阵的行列式，这被称为该元素的子式。
> A 中 3 的子式 = \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = 56 – 24 = 32
>
> 步骤 4： 现在使用元素 aij 的余子式公式，即 (-1)i+j Mij
> 元素 3 的余子式 = (-1)1+3(32) = 32
>
> 步骤 5： 继续对所有元素执行此过程以找到 A 的余子矩阵，
> 即，A 的余子矩阵 = \begin{bmatrix} -4&-33&32\\ 6&-9&4\\-2&16&-10 \end{bmatrix}
矩阵的转置
矩阵的转置是通过互换矩阵的行和列而形成的矩阵。矩阵 A 的转置记作 AT 或 A‘。如果矩阵 A 的阶数是 m×n，那么其转置矩阵的阶数就是 n×m。
要找到矩阵的伴随，首先我们必须找到每个元素的余子式，然后再执行两步。请看下面的步骤：
> 步骤 1： 找出矩阵中存在的每个元素的余子式。
> 步骤 2： 创建另一个以余子式作为其元素的矩阵。
> 步骤 3： 现在求步骤 2 得到的矩阵的转置。
让我们考虑一个例子来理解求 2×2 矩阵伴随的方法。
例题： 求解 \bold{\text{A} =\begin{bmatrix}2&3\\ 4&5 \end{bmatrix}} 的伴随。.
解：
> 给定矩阵是 \text{A} =\begin{bmatrix}2&3\\ 4&5 \end{bmatrix}
>
> 步骤 1： 找出每个元素的余子式