在数据分析和统计学领域，我们经常面临这样的问题：两个变量之间是否存在某种关联？这种关联的强度又是如何？

通常，我们可以通过相关性检验来回答这个问题。你可能在很多场景下都接触过这个概念，比如我们想知道父亲的身高和儿子的身高之间是否存在遗传关系，或者想了解某只股票的价格波动是否与市场指数的走势有关。

虽然最著名的皮尔逊相关系数能够很好地衡量线性关系，但在处理非线性数据或非正态分布数据时，它往往会力不从心。这时候，我们就需要引入更稳健的非参数相关性分析方法。在本文中，我们将深入探讨其中的一种强大工具——肯德尔等级相关系数，并通过实际的 Python 代码示例，带你一步步掌握它的计算原理与应用场景。

相关性分析：参数与非参数方法的选择

在深入肯德尔系数之前，我们需要先理清相关性分析的两大阵营。了解它们的区别，有助于我们在实际工作中选择正确的统计工具。

参数相关性：皮尔逊相关系数 (Pearson r)

这是我们最常听到的相关系数。它测量的是两个变量（设为 x 和 y）之间的线性依赖关系。之所以被称为“参数”检验，是因为它依赖于数据的分布假设（通常要求数据服从正态分布）。如果数据呈现完美的直线分布，皮尔逊系数效果最好。然而，一旦数据包含异常值，或者关系是非线性的，皮尔逊系数往往会给出误导性的结果。

非参数相关性：肯德尔 和 斯皮尔曼

当我们无法确定数据的分布，或者数据是以“排名”而非“实际数值”的形式存在时（例如调查问卷中的“非常满意”到“非常不满意”），非参数方法就派上用场了。

肯德尔 和 斯皮尔曼 都是基于秩的相关系数。它们不关心具体的数值大小，只关心数值的排序关系。这使得它们对异常值具有极强的鲁棒性。在本文中，我们将聚焦于肯德尔等级相关系数。

肯德尔等级相关系数的核心原理

肯德尔相关系数通过评估观测值对之间的“一致性”来衡量相关性。让我们来拆解一下它的核心逻辑。

数学公式

肯德尔系数（通常用希腊字母 $\tau$ 表示）的计算公式如下：

$$ \tau = \frac{\text{一致对数量} – \text{不一致对数量}}{\frac{n(n-1)}{2}} $$

这里有几个关键概念需要我们理解：

• 一致对：假设我们有两个观测点 $(x1, y1)$ 和 $(x2, y2)$。如果满足以下条件之一，我们就称它们为“一致对”：

– $x1 > x2$ 且 $y1 > y2$ （两对数据都变小了）

– $x1 < x2$ 且 $y1 < y2$ （两对数据都变大了）

简单来说，就是两个变量的变化方向相同。

• 不一致对：如果满足以下条件之一，则称它们为“不一致对”或“ Discordant pair”：

– $x1 > x2$ 且 $y1 < y2$ （x 变大，y 变小）

– $x1 < x2$ 且 $y1 > y2$ （x 变小，y 变大）

也就是说，两个变量的变化方向相反。

• 特殊处理（平局）：如果 $x1 = x2$ 或 $y1 = y2$，则无法判断变化方向。这些配对既不算一致对，也不算不一致对，在计算中通常会被忽略（或者在特定变体中进行修正）。

• $n$：样本总数。

结果解读

肯德尔系数的取值范围在 -1 到 +1 之间：

• +1：完全正相关。所有观测对都是一致对，说明两个变量的排名完全一致。
• -1：完全负相关。所有观测对都是不一致对，说明一个变量增加时另一个变量严格减少。
• 0：不相关。一致对和不一致对的数量大致相等，说明两个变量之间没有明显的单调关系。

实战演练：手动计算过程

为了让你彻底理解这个公式是如何工作的，让我们通过一个具体的例子来手动计算一遍。

场景：假设我们有两位食品专家，他们对 7 种不同的食品项目进行了排名。我们想知道这两位专家的评审口味是否一致。
数据如下：

专家 1 排名

:—

1

2

3

4

5

6

7

步骤 1：确定一致对与不一致对

我们需要将数据中的所有两两组合进行比较。总共有 $n(n-1)/2 = 7(6)/2 = 21$ 对需要比较。

让我们看几个具体的例子：

• 比较项目 1 和 项目 2：

– 专家 1: $x1=1, x2=2$ ($x1 < x2$)

– 专家 2: $y1=1, y2=3$ ($y1 < y2$)

– 结论：$x$ 和 $y$ 都增加了，这是一对 一致对。

• 比较项目 2 和 项目 4：

– 专家 1: $x2=2, x4=4$ ($x2 < x4$)

– 专家 2: $y2=3, y4=2$ ($y2 > y4$)

– 结论：$x$ 增加了，但 $y$ 减少了，这是一对 不一致对。

通过系统地比较每一对项目，我们可以汇总出如下表格（C 代表一致，D 代表不一致）：

1

3

5

7

—

—

—

—

–

C

C

C

–

C

C

C

–

–

C

C

–

–

C

D

–

–

–

D

–

–

–

D

–

–

–

-### 步骤 2：计算结果

现在，我们只需要统计表格中的 C 和 D 数量：

• 一致对数量：15
• 不一致对数量：6
• 总对数：21

套用公式：

$$ \tau = \frac{15 – 6}{21} = \frac{9}{21} \approx 0.42857 $$

结论：

我们得到的肯德尔系数约为 0.42857。这是一个正值，说明两位专家之间存在一定程度的一致性（虽然不是完全的强相关，但也远非随机）。如果这个结果是负值，比如 -0.8，那就意味着专家 1 排名越高的项目，专家 2 反而越讨厌，两人观点完全相反。

Python 实战：使用 Scipy 计算肯德尔系数

在现代开发中，我们当然不需要手动去数表格。Python 的 INLINECODE4595b802 库为我们提供了非常高效的计算函数 INLINECODEda4ccac4。

基础示例：复现上述计算

让我们用代码来实现上面的专家评分例子。scipy.stats.kendalltau 函数会返回两个值：相关系数和 p 值。p 值用于检验结果的显著性（即相关性是否由随机偶然产生）。

# 导入所需的库
from scipy.stats import kendalltau

# 定义数据：使用我们在上面例子中用到的排名数据
expert_1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
expert_2 = [1, 3, 6, 2, 7, 4, 5]

# 计算 Kendall Rank 相关系数
# kendalltau 返回一个元组: (相关系数, p-value)
corr, p_value = kendalltau(expert_1, expert_2)

# 打印结果，保留5位小数
print(f‘肯德尔等级相关系数: {corr:.5f}‘)
print(f‘P值 (显著性检验): {p_value:.5f}‘)

# 结果解读
if p_value < 0.05:
    print('结论: 相关性在统计上是显著的 (p < 0.05)')
else:
    print('结论: 相关性可能不显著')

输出结果：

肯德尔等级相关系数: 0.42857
P值 (显著性检验): 0.17504
结论: 相关性可能不显著
``

> **注意**：虽然系数是 0.42，但 p 值约为 0.175。这意味着由于样本量太小（只有7个数据点），虽然观察到了正相关性，但我们在统计上不能完全排除这是随机造成的。这就引出了数据分析中的一个重要原则：**不仅要看效应量（相关系数），还要看显著性。**

### 进阶示例：处理大数据集与 Pandas 结合

在实际工作中，我们通常处理的是存储在 DataFrame 中的结构化数据。让我们看一个更接近真实业务的例子。

假设我们有一份电商数据，记录了 10 件商品的“用户满意度排名”和“实际销量排名”。我们要分析满意度是否真的驱动了销量。

python

import pandas as pd

from scipy.stats import kendalltau

创建模拟数据集

data = {

‘product_id‘: range(1, 11),

‘satisfaction_rank‘: [1, 5, 2, 8, 10, 3, 6, 4, 9, 7], # 满意度排名 (1最好)

‘sales_rank‘: [2, 6, 3, 9, 10, 4, 7, 5, 8, 1] # 销量排名 (1最高)

}

df = pd.DataFrame(data)

计算相关性

corr, pvalue = kendalltau(df[‘satisfactionrank‘], df[‘sales_rank‘])

print("— 电商数据分析报告 —")

print(f"肯德尔相关系数: {corr:.4f}")

print(f"显著性 P值: {p_value:.4f}")

逻辑判断：满意度高是否真的导致销量高？

if corr > 0.3 and p_value < 0.05:

print("

洞察: 用户满意度与销量之间存在显著的正相关关系。")

print("建议: 继续提升产品质量以提高满意度，从而带动销量。")

elif corr < 0:

print("

洞察: 令人意外！满意度高的商品销量反而低 (负相关)。")

print("建议: 检查是否存在价格过高或库存不足等阻碍转化的因素。")

else:

print("

洞察: 满意度与销量之间没有明显的线性关系。")

“

在实际数据中，平局是非常常见的。例如，两个学生的成绩并列第 5 名，或者两个产品的价格完全相同。标准版的肯德尔系数（kendalltau` 中的默认行为，通常称为 Tau-b）在分母上对平局进行了修正，使其能够更准确地处理含有大量重复值的数据。

如果你发现数据中充满了重复值（例如等级评价只有 1-5 分，但样本有 1000 人），肯德尔系数依然适用，但要注意它可能会低估真实的关联强度。

3. 何时选择 Kendall vs. Spearman vs. Pearson

这是面试和实际工作中常被问到的问题。我们的选择策略如下：

• 首选 Pearson：当数据是连续的，且服从正态分布，并且你关注的是线性关系时。
• 首选 Kendall：当数据是序数（即有等级之分，但等级间的距离不一定相等，如“好/中/差”），或者样本量较小，或者数据中包含异常值时。Kendall 的统计功效通常比 Spearman 更好。
• 首选 Spearman：当你处理单调关系（非线性但方向一致），且数据量较大不担心计算速度时。

总结与后续步骤

在这篇文章中，我们深入探讨了肯德尔等级相关系数这一强大的统计工具。

我们首先区分了参数与非参数检验，明确了肯德尔系数在处理排名数据和异常值方面的优势。接着，我们通过详细的数学公式和手动计算示例，揭示了“一致对”与“不一致对”的计数逻辑。最后，我们利用 Python 和 Scipy 库实现了自动化计算，并讨论了如何处理真实业务场景中的数据分析。

作为开发者，掌握这项技能能让你在处理 A/B 测试结果、推荐系统排序评估或用户行为分析时更加得心应手。

接下来，你可以尝试以下步骤来巩固你的知识：

• 动手实践：找一份公开的数据集（如 Kaggle 上的电影评分数据），尝试计算“评分”与“票房”之间的肯德尔系数。
• 对比实验：对同一组数据分别计算 Pearson、Spearman 和 Kendall 系数，观察结果有何差异，并思考为什么。
• 深入研究 p 值：学习假设检验的基础，理解为什么统计学显著性不等于实际重要性。

希望这篇文章能帮助你更好地理解和使用 Python 进行相关性分析！如果你有任何问题或心得，欢迎在评论区交流。