自动机理论，也被称为计算理论，是计算机科学和数学的一个分支。它专注于研究抽象机器，通过分析机器如何执行计算的数学模型，来帮助我们深入理解计算的潜力和局限。让我们一起探索这个领域的基础知识。
1. 符号
符号（通常也称为字符）是最小的构建块，它可以是任何字母表、字母或图片。
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2. 字母表 (Σ)
字母表是一个有限的、非空的符号集合，用于构建字符串和语言。例如，Σ = {a, b}。
3. 字符串
字符串是来自某个字母表的符号的有限序列。字符串通常表示为 w，其长度表示为
。空字符串是符号出现次数为零的字符串，表示为 ε。
> 字母表 {a, b} 上可以生成的字符串数量 (长度为 2)
> – –
> a a
> a b
> b a
> b b
>
> 字符串长度
= 2
> 字符串数量 = 4
>
> 结论：
> 对于长度为 n 的字母表 {a, b}，可以生成的字符串数量 = 2^n。
自动机理论用于对计算问题进行建模，从而增强我们对编译器、解释器等系统的理解和设计能力。
TOC 中的闭包表示
1. L+：它是正闭包，表示除空字符串（Null 或 ε）以外的所有字符串的集合。
2. L* ：它是“克林闭包”，表示给定语言字母表的某些字母出现零次到无限次。其中也包括 ε 字符串。
根据以上两条陈述，我们可以得出结论：
> L* = εL+
示例：
> 语言接受 Σ={g} 上所有 g 的组合的正则表达式：
> R = g*
> R={ε,g,gg,ggg,gggg,ggggg,…}
>
> 语言接受 Σ={g} 上所有 g 的组合的正则表达式：
> R = g+
> R={g,gg,ggg,gggg,ggggg,gggggg,…}
注意： Σ 是所有可能字符串的集合（通常是字符串的幂集(这里不必须是唯一的，或者我们可以称为多重集)）。因此这意味着语言是 Σ 的子集。这也被称为 “克林星号”。
克林星号也被称为 “克林算子” 或 “克林闭包”。工程师和 IT 专业人员利用克林星号来获取必须包含的、来自给定字符或符号集的所有字符串集合。它是一种一元运算符。在克林星号方法中，给定字符串的所有单个元素都必须存在，但可以包含任何程度的这些字母的额外元素或组合。
示例：
> 输入字符串: "GFG"
> Σ* = { ε,"GFG","GGFG","GGFG","GFGGGGGGGG","GGGGGGGGFFFFFFFFFGGGGGGGG",…}
> (克林星号是一个无限集合，但如果我们提供任何语法规则，它就可以作为有限集合工作。
> 请注意，我们也可以在给定的克林星号表示中包含 ε 字符串。)
语言
- 语言是使用给定字母表 Σ 的符号形成的字符串集合。
- 形式上，语言是 Σ 的子集，其中 Σ 是字母表 Σ 上所有可能的字符串（包括 ε）的集合。
语言示例：
> 有限语言:
> L1 = { 长度为 2 的字符串集合 }
> L1 = { xy, yx, xx, yy }
>
> 无限语言:
> L1 = { 所有以 ‘b‘ 开头的字符串集合 }
> L1 = { babb, baa, ba, bbb, baab, ……. }
TOC 中的语言类型
语言根据生成它们的计算模型或文法进行分类：
- 正规语言：使用正则表达式或有限自动机定义。例如：L=a^n|n≥0。
- 上下文无关语言：使用上下文无关文法或下推自动机定义。例如：L=a^n b^n |n≥0。
- 上下文有关语言：使用上下文有关文法或线性有界自动机定义。
- 递归和递归可枚举语言：使用图灵机定义。
计算理论的核心领域
计算理论领域可以大致分为三个主要领域：
1. 自动机理论
自动机理论研究抽象计算模型及其应用。它构成了理解机器如何处理输入和产生输出的基础。关键组成部分包括：
- 有限自动机：用于对编译器中的词法分析器等简单系统进行建模。
- 下推自动机：一种更强大的模型，能够识别上下文无关语言。