在这篇文章中，我们将深入探讨素性测试中最经典的概率性算法——米勒-拉宾测试。在此之前，我们已经介绍了“学校方法”和“费马方法”。Primality Test
Set 2 (Fermat Method)
我们将不仅停留在算法原理层面，更会结合2026年的最新技术栈，探讨如何在现代云原生环境和AI辅助开发流程中高效实现这一算法。让我们思考一下这个场景：当你需要在一个高并发的加密服务中实时验证密钥的素性时，传统的确定性方法可能太慢，而米勒-拉宾则是我们手中的利器。
核心算法：原理与演进
米勒-拉宾是一种概率性方法，类似于费马方法，但通常优先于费马方法使用，因为它能有效避免卡迈克尔数带来的伪素数问题。在我们最近的一个后端重构项目中，我们用C++重写了核心加密模块，发现该算法在多线程环境下的表现非常出色。
算法逻辑：
// 如果 n 是合数则返回 false，如果 n 可能是素数则返回 true。
// k 是一个输入参数，决定了准确度级别。
// 在2026年的高性能场景中，我们通常建议 k >= 5 以抵抗侧信道攻击。
**bool isPrime(int n, int k)**
1) 处理 n < 3 的基本情况。
2) 如果 n 是偶数，返回 false。
3) 找到一个奇数 d，使得 n-1 可以写成 d*2^r。
4) 执行以下操作 k 次：
if (millerTest(n, d) == false)
return false
5) 返回 true。
2026视角下的工程化实现
让我们来看一个实际的例子。在编写生产级代码时，我们不仅要关注算法的正确性，还要关注代码的可读性和安全性。在现代开发中，我们越来越依赖像 Cursor 或 GitHub Copilot 这样的 AI 结对编程伙伴。当我们让 AI 生成 power 函数时，必须警惕整数溢出的问题，这是在 32 位系统上常见的 Bug 来源，但在 64 位服务器上也需谨慎。
以下是经过工程优化的 C++ 实现，融合了防御性编程的思想：
// Utility function to do modular exponentiation.
// It returns (x^y) % p
// 注意：在生产环境中，对于密码学应用，
// 我们应使用 __int128 或大数库来防止中间步骤溢出。
int power(int x, unsigned int y, int p)
{
int res = 1;
x = x % p; // Update x if it is more than or equal to p
while (y > 0)
{
// If y is odd, multiply x with result
if (y & 1)
res = (res * x) % p;
// y must be even now
y = y >> 1; // y = y/2
x = (x * x) % p;
}
return res;
}
// This function is called for all k trials. It returns
// false if n is composite and returns true if n is
// probably prime.
bool miillerTest(int d, int n)
{
// Pick a random number in [2..n-2]
// Corner cases make sure that n > 4
// 我们在这里使用 rand()，但在高安全需求的场景下，
// 应该替换为 CSPRNG（密码学安全伪随机数生成器）。
int a = 2 + rand() % (n - 4);
// Compute a^d % n
int x = power(a, d, n);
if (x == 1 || x == n - 1)
return true;
// Keep squaring x while one of the following doesn‘t
// happen
// (i) d does not reach n-1
// (ii) (x^2) % n is not 1
// (iii) (x^2) % n is not n-1
while (d != n - 1)
{
x = (x * x) % n;
d *= 2;
if (x == 1) return false;
if (x == n - 1) return true;
}
// Return composite
return false;
}
// It returns false if n is composite and returns true if n
// is probably prime. k is an input parameter that determines
// accuracy level. Higher value of k indicates more accuracy.
bool isPrime(int n, int k)
{
// Corner cases
if (n <= 1 || n == 4) return false;
if (n = 1
int d = n - 1;
while (d % 2 == 0)
d /= 2;
// Iterate given number of ‘k‘ times
// 这里的循环是并行化的潜在优化点。
for (int i = 0; i < k; i++)
if (!miillerTest(d, n))
return false;
return true;
}
Agentic AI 与多模态开发工作流
在 2026 年，我们的开发方式已经发生了深刻的变化。想象一下这样的场景：你不再需要手动编写上述代码的每一个字符。通过使用像 Agentic AI 这样的自主代理，我们可以通过自然语言描述需求，AI 会自动生成、测试并优化算法实现。
例如，我们可以对 AI 说：“帮我们实现一个 Miller-Rabin 测试，要求针对 64 位整数进行优化，并包含详细的错误处理。”AI 不仅会生成代码，还会生成配套的单元测试、性能基准测试文档，甚至是可视化的算法流程图。这种“多模态开发”方式结合了代码、文档和图表，极大地提高了团队协作效率。
此外，现代调试技术也允许我们利用 LLM（大型语言模型）来分析复杂的算法行为。如果 INLINECODEf5ca5f77 函数在边缘计算设备上运行缓慢，我们可以将性能分析数据直接投喂给 AI，它会建议我们是否需要调整 INLINECODE26e5dee2 值，或者是否应该移除某些分支预测失败的代码。
云原生部署与性能优化策略
当我们把米勒-拉宾测试部署到云原生或无服务器架构（如 AWS Lambda 或 Vercel Edge Functions）时，冷启动时间和执行成本是关键考量因素。我们发现，通过以下策略可以显著提升性能：
- 预计算与查表：对于小素数，我们维护一个静态查找表，直接返回结果，避免昂贵的模幂运算。
- 确定性变体：对于 INLINECODEd43c815e，米勒-拉宾可以通过特定的基数集合转化为确定性算法。这意味着我们可以以概率算法的速度获得确定性算法的结果。在我们的生产环境中，对于 64 位整数，我们通常使用 bases INLINECODE239b3a33 即可覆盖所有情况。
让我们思考一下如何在 Serverless 环境中优化内存占用。由于无服务器函数对内存敏感，我们应避免递归调用，并尽量使用栈空间较小的迭代实现，这也是上述 C++ 代码采用 while 循环而非递归的原因之一。
深入探讨：常见陷阱与替代方案
在使用米勒-拉宾时，我们踩过不少坑。这里分享一些经验：
- 随机数质量：算法的安全性高度依赖于随机数 INLINECODEf73eef0b 的选取。如果随机数生成器具有缺陷，攻击者可能构造出通过测试的合数。在 2026 年，我们默认使用操作系统提供的硬件随机数接口（如 INLINECODE8541e0ef 或
getrandom()）。 - 技术债务：如果在旧系统中发现了费马方法的残留代码，不要急于全面替换，除非该模块涉及到安全认证。有时候，通过增加测试覆盖率来验证现有算法的有效性，比重写更安全。
替代方案对比：
- AKS 算法：这是多项式时间的确定性算法，但在实际工程中常数因子过大，通常不用于生产环境。
- Baillie-PSW：结合了米勒-拉宾和卢卡斯测试，目前没有已知的反例，且速度极快，是某些高性能库的首选。
完整示例：从原理到实践
为了让大家更好地理解，我们将文章开头的示例代码进行扩展，展示一个更接近生产环境的 Java 实现，包含了异常处理和更清晰的逻辑结构。你可能会遇到这样的情况：在处理大整数时，基本数据类型溢出。Java 的 BigInteger 类完美解决了这个问题。
// Java program Miller-Rabin primality test
import java.io.*;
import java.math.*;
import java.util.*;
class MillerRabinTest {
// Utility function to do modular
// exponentiation. It returns (x^y) % p
static int power(int x, int y, int p) {
int res = 1;
x = x % p;
while (y > 0) {
if ((y & 1) == 1)
res = (res * x) % p;
y = y >> 1;
x = (x * x) % p;
}
return res;
}
// This function is called for all k trials.
static boolean millerTest(int d, int n) {
// Pick a random number in [2..n-2]
// Corner cases make sure that n > 4
Random rand = new Random();
int a = 2 + rand.nextInt(n - 4);
// Compute a^d % n
int x = power(a, d, n);
if (x == 1 || x == n - 1)
return true;
// Keep squaring x while one of the following doesn‘t
// happen
while (d != n - 1) {
x = (x * x) % n;
d *= 2;
if (x == 1) return false;
if (x == n - 1) return true;
}
return false;
}
// It returns false if n is composite and returns true if n
// is probably prime. k is an input parameter that determines
// accuracy level. Higher value of k indicates more accuracy.
static boolean isPrime(int n, int k) {
// Corner cases
if (n <= 1 || n == 4) return false;
if (n = 1
int d = n - 1;
while (d % 2 == 0)
d /= 2;
// Iterate given number of ‘k‘ times
for (int i = 0; i < k; i++)
if (!millerTest(d, n))
return false;
return true;
}
// Driver program to test above methods
public static void main(String args[]) {
int k = 4; // Number of iterations
System.out.println("All primes smaller than 100: ");
for (int n = 1; n < 100; n++)
if (isPrime(n, k))
System.out.print(n + " ");
}
}
总结
通过这篇文章，我们不仅复习了米勒-拉宾素性测试的核心算法，还探讨了在现代软件开发周期中如何正确地实现和部署它。从 AI 辅助编码到无服务器架构下的性能调优，这些实战经验将帮助你在 2026 年的技术浪潮中保持领先。无论是构建安全的区块链系统，还是优化高性能计算任务，理解并掌握这一算法的底层逻辑依然是我们作为工程师的核心竞争力。