B+ 树中的删除操作详解

B+ 树简介

B+ 树是 B 树数据结构的一种变体。在 B+ 树中，数据指针仅存储在树的叶子节点中。在 B+ 树结构中，叶子节点的结构与内部节点的结构是不同的。

与 B 树相比，B+ 树在插入、删除和其他操作方面提供了更高的效率。

在 B+ 树中进行删除

在从 B+ 树中删除一个元素时，主要涉及三个操作——查找、删除和平衡。作为最后一步，我们将在首先找到需要删除的节点并将其从树中移除后，对树进行平衡操作。

使用这种方法可以从 B+ 树中删除一个键值对。为了在执行删除操作后保持树内部节点的属性，必须移除相应的叶子节点及其键值对。

图示说明

让我们考虑下面这棵 B+ 树：

[ 11 14 20 ]
             /          |           \
    [ 1 3 5 ]   [ 11 12 ]   [ 14 15 17 ]
     /  |  \         /  \         /    |    \
[ 1 2 ] [ 3 4 ] [ 5 7 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 14 15 ]

让我们从树中删除键 5。

B+ 树的删除策略如下：

• 查找：在叶子节点中查找要删除的键。
• 删除：如果键在叶子节点中被发现，则删除该键及其关联的值。
• 处理下溢：如果节点发生下溢（键的数量少于最大允许值的一半），应执行以下步骤之一：

– 借用：如果兄弟节点包含的键多于所需的最小数量，则从兄弟节点借用一个键。

– 合并：如果所有兄弟节点都满足最小键数，则将下溢节点与其中的一个兄弟节点合并，并根据需要修改父节点。

• 清理内部节点：从树的内部节点中删除所有对已删除叶子节点的引用。
• 更新根节点：如果根节点为空，则移除旧的根节点并更新为新的根节点。

具体操作步骤

以下描述了如何从 B+ 树中移除键 5：

• 在叶子节点中查找键号 5。节点 [1 3 5] 包含该键。
• 移除与键 5 关联的值，生成节点 [1 3]。
• 节点 [1 3] 发生下溢，因为它包含的键少于允许的最大数量。我们可以从其兄弟节点获取一个键 [3 4]。在这个实例中，我们借用键 4，结果导致节点变为 [1 3 4] 和 [5 7]。
• 从树的内部节点中删除所有对已删除叶子节点的引用。由于节点 [1 3 5]（此处原文逻辑指代被删除项导致的变动）与节点 [5 7] 产生了交互（通过借用或合并），我们必须从其父节点中删除对原 [1 3 5] 的引用，这会生成节点 [1 3 4 11] 作为结果。（注：根据具体的合并或借用逻辑，父节点键值会更新）。
• 由于根节点 [11 14 20] 不为空，删除操作完成。

代码实现

下面是上述图示的实现：

#### C++

#include 

class Node {
public:
    std::vector keys;
    std::vector values;
    bool leaf;
    Node* next;

    Node(bool isLeaf) : leaf(isLeaf), next(nullptr) {}
};

class BPlusTree {
private:
    Node* root;
    int degree;

public:
    BPlusTree(int degree) : degree(degree) {
        root = new Node(true);
    }

    bool search(int key) {
        Node* current = root;
        while (!current->leaf) {
            int i = 0;
            while (i keys.size()) {
                if (key keys[i]) {
                    break;
                }
                i += 1;
            }
            current = current->values[i];
        }

        int i = 0;
        while (i keys.size()) {
            if (key == current->keys[i]) {
                return true;
            }
            i += 1;
        }
        return false;
    }

    void insert(int key) {
        Node* current = root;
        if (current->keys.size() == 2 * degree) {
            Node* newRoot = new Node(false);
            root = newRoot;
            newRoot->values.push_back(current);
            split(newRoot, 0, current);
            insertNonFull(newRoot, key);
        } else {
            insertNonFull(current, key);
        }
    }

    void insertNonFull(Node* current, int key) {
        int i = 0;
        while (i keys.size()) {
            if (key keys[i]) {
                break;
            }
            i += 1;
        }

        if (current->leaf) {
            current->keys.insert(current->keys.begin() + i, key);
        } else {
            if (current->values[i]->keys.size() == 2 * degree) {
                split(current, i, current->values[i]);
                if (key > current->keys[i]) {
                    i += 1;
                }
            }
            insertNonFull(current->values[i], key);
        }
    }

    void split(Node* parent, int index, Node* node) {
        Node* newNode = new Node(node->leaf);
        parent->values.insert(parent->values.begin() + index + 1, newNode);
        // ... (Splitting logic implementation details continue here)
    }
    
    // Remove method implementation follows here based on the logic discussed above
};