埃尔米特多项式是一组正交多项式，在数学、物理学和工程学等各个领域发挥着重要作用。这些多项式以法国数学家查尔斯·埃尔米特的名字命名，尤其以它们在概率论、量子力学和数值分析中的应用而闻名。
埃尔米特多项式是埃尔米特微分方程的解，主要有两种形式：物理学家的埃尔米特多项式和概率学家的埃尔米特多项式。埃尔米特多项式是强大的数学工具，在理论科学和应用科学中都有着广泛的应用。
目录
- 什么是埃尔米特多项式？
- 埃尔米特多项式的类型
- 埃尔米特多项式的性质
- 推导与表示
- 埃尔米特多项式的应用
- 关于埃尔米特多项式的常见问题
埃尔米特多项式是一系列正交多项式，出现在概率论、物理学和数值分析中。埃尔米特多项式因其在求解微分方程中的作用以及在量子力学和统计力学中的应用而尤为著名。
埃尔米特多项式，记为 Hn(x)，是一组由以下递推关系定义的正交多项式：
> H{n+1}(x) = 2xHn(x) – 2nH_{n-1}(x)
对于 n≥1，初始条件为 H0(x) = 1 和 H1(x) = 2x。这些多项式满足以下微分方程：
> Hn‘‘(x) – 2xHn‘(x) + 2nH_n(x) = 0
主要有两种类型的埃尔米特多项式，通过其归一化和应用领域来区分：
- 物理学家的埃尔米特多项式
- 概率学家的埃尔米特多项式
物理学家的埃尔米特多项式，记为 Hn(x)，通常用于量子力学。它们由以下显式公式定义：
> H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x^2} \right)
它们可以出现在量子谐振子问题的解中，用于描述该模型的波函数。物理学家的埃尔米特多项式的正交性条件由下式给出：
> \int{-\infty}^{\infty} Hm(x) Hn(x) e^{-x^2} \, dx = 2^n n! \sqrt{\pi} \delta{mn}
概率学家的埃尔米特多项式，记为 Hen(x)，主要用于概率论和统计学。它们定义为：
> He_n(x) = (-1)^n e^{\frac{x^2}{2}} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-\frac{x^2}{2}} \right)
这些多项式与正态分布有关，并用于埃奇沃斯级数的背景下，这是一种近似概率分布函数的方法。概率学家的埃尔米特多项式的正交性条件是：
> \int{-\infty}^{\infty} Hem(x) Hen(x) e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx = n! \sqrt{2\pi} \delta{mn}
埃尔米特多项式具有以下若干性质：
正交性
值得注意的是，埃尔米特多项式的正交性质是其应用的基石。对于物理学家的埃尔米特多项式，正交性条件为：
> \int{-\infty}^{\infty} Hm(x) Hn(x) e^{-x^2} \, dx = 2^n n! \sqrt{\pi} \delta{mn}
这里，δmn 是克罗内克 delta，当 m=n 时为 1，否则为 0。这种情况下的权函数是 e^−x^2，积分确保了多项式在整个实数轴上正交。
递推关系
埃尔米特多项式也遵循一种递推关系，这在从低阶多项式获取高阶多项式时非常有用。物理学家的埃尔米特多项式的递推关系为：
> H{n+1}(x) = 2xHn(x) – 2nH_{n-1}(x)
这个关系有助于简化埃尔米特多项式的计算，应用于许多理论和实际情况中。
微分方程
埃尔米特多项式是埃尔米特微分方程的解：
> Hn‘‘(x) – 2xHn‘(x) + 2nH_n(x) = 0
这个方程凸显了多项式在求解各种物理问题中的作用，特别是在量子力学中。微分方程形式提供了一种直接推导多项式的方法。
推导与表示
我们可以通过多种方法推导和表示埃尔米特多项式，包括罗德里格斯公式、生成函数和级数表示。
罗德里格斯公式
罗德里格斯公式提供了一种生成埃尔米特多项式的直接方法。它由下式给出：
H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x^2} \right)
这个公式的推导步骤如下：
- 从指数函数 e−x2 开始。
- 对 x 将 e−x2 微分 n 次。
- 乘以 (−1)nex2。
- 这个过程生