“矩阵”是指按行和列排列的矩形数字阵列。水平线被称为行，而垂直线被称为列。我们可以通过矩阵的行数和列数来确定其大小。如果一个矩阵有 “m” 行和 “n” 列，那么它被称为 “m × n” 矩阵。
!Similar-Matrixy相似矩阵
例如，一个具有五行三列的矩阵就是一个 “5 × 3” 矩阵。我们有各种类型的矩阵，如矩形矩阵、方阵、三角矩阵、对称矩阵、奇异矩阵等。在本文中，我们将探讨相似矩阵、它们的例子以及性质。
如果存在一个与 A 和 B 同阶的可逆矩阵 “P”，使得以下等式成立，那么两个同阶的方阵 A 和 B 就被称为相似矩阵：
> P-1AP = B
将矩阵 A 变换为 “P-1AP” 的过程称为相似变换或 “P” 的共轭，因为我们正在将矩阵 “A” 变换为矩阵 “B”。在这里，矩阵 “P” 被称为基变换矩阵。如果两个矩阵 A 和 B 是相似的，那么它们表示为 A ∼ B.
相似矩阵的示例
下面给出的矩阵是通过同阶的可逆矩阵 P 相似的 “2 × 2” 阶相似矩阵。
> A = \left[\begin{array}{cc} 2 & 4\\ 0 & -2 \end{array}\right] \text{和}
>
> B = \left[\begin{array}{cc} 2 & 0\\ -4 & -2 \end{array}\right] \text{是通过可逆矩阵 P 相似的矩阵。}
>
> P = \left[\begin{array}{cc} 2 & -2\\ 2 & 2 \end{array}\right]
>
> P^{-1} = \frac{1}{4+4}\left[\begin{array}{cc} 2 & 2\\ -2 & 2 \end{array}\right] =\frac{1}{8}\left[\begin{array}{cc} 2 & 2\\ -2 & 2 \end{array}\right]
>
> P^{-1} AP = \frac{1}{8}\left[\begin{array}{cc} 2 & 2\\ -2 & 2 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc} 2 & 4\\ 0 & -2 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc} 2 & -2\\ 2 & 2 \end{array}\right]
>
> P^{-1} AP = \frac{1}{8}\left[\begin{array}{cc} 2 & 2\\ -2 & 2 \end{array}\right]\times\left[\begin{array}{cc} 12 & 4\\ -4 & -4 \end{array}\right]
>
> P^{-1} AP = \frac{1}{8}\left[\begin{array}{cc} 16 & 0\\ -32 & -16 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 2 & 0\\ -4 & -2 \end{array}\right] = B
相似矩阵的性质
以下是相似矩阵 A 和 B 的一些重要性质：
- 两个相似矩阵的秩相同，即 A 的秩 = B 的秩。
- 两个相似矩阵的行列式相同，即 det(A) = det(B)。
- 两个相似矩阵的迹相同，即 tr(A) = tr(B)。
- 两个相似矩阵的特征值相同，但它们的特征向量通常不同。
- 如果 A 和 B 是两个相似矩阵，那么 An 和 Bn 也是相似矩阵。
- 一个矩阵及其转置矩阵是相似的，即 A ∼ AT。
- 两个相似矩阵 A 和 B 具有相同的特征多项式。
- 矩阵 “A” 与其自身相似，即矩阵的相似性是自反的。
> A = I-1AI,
>
> 其中单位矩阵 “I” 是基变换矩阵。
- 如果矩阵 A 相似于矩阵 B，那么矩阵 B 也相似于矩阵 A，即矩阵的相似性是对称的。
> P-1AP = B
>
> A = PBP-1
- 如果矩阵 A 相似于矩阵 B，且矩阵 B 相似于矩阵 C，那么矩阵 A 相似于矩阵 C，即矩阵的相似性是传递的。
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相似矩阵的例题
例 1：如果 A 和 B 是相似矩阵，求矩阵 B。已知
A = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & -1 \end{array}\right]
P = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 2 & 3 \end{array}\right] .
解：
> 我们知道，如果 A 和 B 是相似矩阵，那么 P-1AP = B。
>
> P-1 = Adj P/
>
>
= 0 × 3 − (1 × 2) = -2
>
> Adj P = \left[\begin{array}{cc} 3 & -1\\ -2 & 0 \end{array}\right]
>
> P^{-1} = \frac{1}{-2} \left[\begin{array}{cc} 3 & -1\\ -2 & 0 \end{array}\right]
>
> B = P^{-1} AP
>
> B = \frac{1}{-2} \left[\begin{array}{cc} 3 & -1\\ -2 & 0 \end{array}\right]× \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & -1 \end{array}\right]×\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 2 & 3 \end{array}\right]
>
> B = \frac{1}{-2} \left[\begin{array}{cc} 3 & -1\\ -2 & 0 \end{array}\right]×\left[\begin{array}{cc