因式定理 是用于寻找给定多项式根的重要工具。这个定理在寻找多项式方程的因式时非常有用，因为我们无需真正解出方程就能确定其因式。
根据因式定理，对于任何次数 n ≥ 1 的多项式 f(x)，如果 f(a) 为零，那么线性多项式 (x – a) 就是该多项式的一个因式。
让我们在本文中详细探讨 因式定理、其证明以及其他相关内容。
目录
- 什么是因式定理？
- 因式定理公式
- 多项式的零点
- 因式定理证明
- 如何使用因式定理？
- 使用因式定理对三次多项式进行因式分解
- 因式定理与余式定理
- 因式定理示例
什么是因式定理？
因式定理是一个特殊的定理，它将多项式与其零点联系起来，帮助我们寻找多项式的因式。因式定理与余式定理结合使用，对于解决复杂的多项式方程非常有帮助。对于任何高次多项式，该定理可以移除所有已知的零点，从而将多项式降次，然后我们可以轻松计算出其因式。
因式定理的表述
根据因式定理，只要我们知道多项式方程的根，就能轻松找到任何次数大于或等于 1 的多项式 f(x) 的因式。 多项式方程的根是满足该方程的数。假设 f(x) 的根是 x = a，那么根据因式定理，(x – a) 就是多项式 f(x) 的一个因式。
下图展示了因式定理的表述。
因式定理公式
根据因式定理，如果 f(a) 为零，那么 x – a 可以被视为多项式 f(x) 的一个因式。 现在，因式定理的公式如下：
如果 (x – a) 是 f(x) 的一个因式，那么，
f(a) = 0,
现在 f(x) 可以展开为，
> f(x) = (x-a)q(x)
>
> 其中，
> a 是方程的根
> q(x) 是 f(x) 除以 q(a) 后的商
> 另请阅读： 因式定理的现实生活应用
多项式的零点
多项式零点的概念对于理解因式定理非常有用。任何多项式的零点都是满足该多项式方程的实数。即，对于多项式 f(x)，如果 f(a) 为零，则 ‘a‘ 是 f(x) 的零点。
例如，计算多项式 x2 + 4x – 12 的零点：
解答：
> x2 + 4x – 12
>
> = x2 + 6x -2x – 12
>
> = x(x + 6) – 2(x + 6)
>
> = (x -2)(x+6)
>
> 多项式 x2 + 4x – 12 的零点是，
>
> x – 2 = 0
>
> ⇒ x = 2, 以及
>
> x + 6 = 0
>
> ⇒ x = -6
验证：验证多项式 x2 + 4x – 12 的零点
> f(2) = 22 + 4(2) -12
>
> ⇒ f(2) = 4 + 8 -12 = 0
>
> f(-6) = (-6)2 + 4(-6) – 12
>
> ⇒ f(-6) = 36 – 24 -12 = 0
>
> 因此，多项式 x2 + 4x – 12 的零点得到了验证。
因式定理证明
考虑一个多项式 p(x)，只有当 p(b) = 0 时，它才能被 (x – b) 整除。
给定的多项式可以写作：
被除数 = (除数 × 商) + 余数
通过使用除法算法：
> p(x) = (x – b) q(x) + 余数
>
> 其中，
>
> – p(x) 是被除数，
> – (x – b) 是除数，以及
> – q(x) 是商。
根据余式定理：
p(x) = (x – b) q(x) + p(b).
假设 p(b) = 0。
p(x) = (x – b) q(x) + 0
⇒ p(x) = (x – b) q(x)
因此，我们可以说 (x – b) 是多项式 p(x) 的一个因式。
这里我们可以看到，因式定理实际上是余式定理的一个结果，余式定理指出：一个多项式 有一个因式 (x – a)，当且仅当 a 是一个根，即 p(b) = 0。
如何使用因式定理？
因式定理广泛应用于求解多项式方程。
我们可以通过下面讨论的例子来学习如何使用因式定理。
示例：找出 x2 – 4x + 3 的因式。
解答：
> 给定多项式，
>
> f(x) = x2 – 4x + 3
>
> 通过试错法，
>
> 取 x = 1
>
> f(1) = 12 -4(1) + 3 = 0
>
> 因此，x -1 是 x2 – 4x + 3 的一个因式
>
> 再次取 x = 3
>
> f(3) = 32 – 4(3) + 3 = 0
>
> 因此，x -3 是 x2 – 4x + 3 的一个因式
使用因式定理对三次多项式进行因式分解
使用因式定理对三阶多项式（通常称为三次多项式。）进行因式分解是非常普遍的。一般来说，对于二次多项式我们使用因式分解方法，而当遇到高次多项式时，因式定理则更为常用。