在时间序列分析中，我们经常会遇到许多变量随时间呈现趋势变化的情况，这意味着它们是非平稳的。在构建统计模型时，这种非平稳性可能会成为一个棘手的问题，因为它可能导致我们得出误导性的结论。然而，有时候两个或多个非平稳的时间序列会以一种特定的方式共同移动，使得它们之间的某种组合变得平稳。这种特殊的关系，我们就称之为协整。
什么是协整？
当两个或多个非平稳的时间序列以某种方式共同移动，导致它们的线性组合呈现平稳性时，我们就说发生了协整。这表明了变量之间存在一种长期的均衡关系，即便其中每个变量单独来看都会随时间产生趋势或漂移。
协整揭示了非平稳变量之间稳定的长期关系。它为我们使用误差修正模型 (ECM)，奠定了基础，该模型能够捕捉：
- 短期动态变化
- 长期均衡行为
示例
- 让我们看看 原油价格和汽油价格，这两者通常都是非平稳的，并且随时间呈现趋势。
- 如果它们之间的差值（例如，汽油价格 – 石油价格 × 某个系数）是平稳的，我们就可以说它们是 协整的。
平稳性及其重要性
在深入探讨协整之前，理解 平稳性 至关重要：
- 如果一个时间序列的统计属性（如均值、方差、自相关性）不随时间变化，那么它就是 平稳的。
- 大多数统计模型都假设数据具有平稳性，以进行准确的预测。
- 非平稳序列可能会导致 伪回归，即变量之间仅仅因为具有趋势行为而看似相关，实际上并不存在真正的关联。
进行协整检验前的步骤
步骤 1：检查单个序列的平稳性：
- 使用增强型迪基-富勒检验（ADF）或菲利普斯-佩龙检验（PP）等方法来检查单位根。
- 确保每个变量都是一阶单整的。
步骤 2：目视检查：
- 绘制序列图，观察它们是否看起来随时间同步移动。
步骤 3：执行协整检验：
- 如果序列是非平稳的，但显示出协同移动的迹象，则应用协整检验进行确认。
协整检验的实现
1. 安装必要的库
> pip install statsmodels
2. 导入库
Python
CODEBLOCK_eea2fbd0
3. 生成或加载时间序列数据
Python
CODEBLOCK_db710118
4. 执行协整检验
Python
CODEBLOCK_9df0d279
输出结果：
> Cointegration Test Statistic: -10.54692388951861
>
> P-value: 1.0672395686753919e-17
>
> The series are likely cointegrated (reject null hypothesis).
常见的协整检验方法
1. Engle-Granger 两步法（适用于两个变量）
- 由 Engle 和 Granger (1987) 提出
- 非常适合处理 两个变量 的情况
步骤：
i). 使用普通最小二乘法（OLS）将一个变量对另一个变量进行回归。
> yt = \alpha + \beta xt + \epsilon_t
ii). 对该回归得到的残差 \epsilon_t 进行 ADF 检验以测试其平稳性。
- 如果残差是平稳的，则说明 Y 和 X 存在协整关系。
简单易行；假设只存在一个协整关系，不适合处理超过两个变量的情况，且可能具有较弱的渐近性质。
2. Johansen 检验（适用于多个变量）
- 由 Søren Johansen (1988) 提出
- 适用于 超过两个变量 的复杂情况
基于向量自回归 (VAR)：
- 它考察协整矩阵的秩。
- 使用 迹检验 和 最大特征值检验 来确定协整关系的数量。
步骤：
- 确保所有变量均为 I(1) 序列
- 估计向量误差修正模型 (VECM)
- 利用迹检验和特征值统计量来测试协整向量的数量
迹检验公式：
> \text{Trace Statistic} = -T \sum{i=r+1}^{n} \ln(1 – \lambdai)
其中 λ 是特征值，r 是协整关系的数量，T 是观测值数量。
最大特征值检验：
> \text{Max Eigenvalue Statistic} = -T \ln(1 – \lambda_{r+1})
能够处理多个变量，允许测试多个协整向量；但方法更为复杂，且对滞后长度的选择敏感。
3. Phillips-Ouliaris 检验
- 这是