最大覆盖问题 (MCP) 简介
最大覆盖问题是组合优化和计算机科学中一个著名的优化问题。
它可以正式定义如下：
- 一个包含 n 个元素的有限集 U（全集）：U = {e1, e2, …, en}。
- 一个由 U 的 m 个子集组成的集合 S：S = {S1, S2, …, Sm}，其中每个 Si ⊆ U。
- 一个整数 k，其中 1 ≤ k ≤ m。
目标：
> 找到一个恰好包含 k 个子集的子集合 C ⊆ S，使得这些子集覆盖的元素总数最大化。
最大覆盖问题确实是 NP-hard 问题，因为它可以很容易地归约为已知的 NP-complete 问题——集合覆盖问题。集合覆盖问题的优化版本要求的是覆盖全集中所有元素所需的最少集合数量，而 MCP 问题要求的是在给定集合数量的情况下能覆盖的最多元素数量。
我们可以使用贪心算法来近似求解最大覆盖问题，该算法能达到最优解的 (1 – 1/e) 倍，其中 e 是自然对数的底数。该算法的工作原理如下：
- 初始化一个空的子集合 C = {}。
- 循环 i = 1 到 k：
- 选择集合 S 中能覆盖最多新元素（即未被 C 中的集合覆盖的元素）的集合 Si。
- 将 Si 添加到子集合 C 中。
- 从集合 S 中移除 Si。
贪心算法很简单，并且有经过证明的近似保证，但它并不能保证找到最优解。其他方法，如整数线性规划，可以用来寻找最优解，但它们通常比贪心算法慢得多，特别是对于大规模的问题实例。
示例：
> n = 5, m = 4, k = 2
>
>
>
> Subsets
> 2 1 2
> 2 2 3
> 2 3 4
> 2 4 5
这个输入指定了以下信息：
- 全集包含 5 个元素（编号从 1 到 5）。
- 有 4 个可用的子集。
- 我们需要恰好选择 2 个子集来最大化覆盖。
子集定义如下：
- 子集 0: {1, 2}
- 子集 1: {2, 3}
- 子集 2: {3, 4}
- 子集 3: {4, 5}
输出：
Chosen subsets: 0 2
Number of elements covered: 4
解释：
- 贪心算法从一个空的覆盖元素集开始，迭代 k = 2 次。
- 在第一次迭代中，算法检查哪个子集拥有最多的新元素需要覆盖。此时，所有子集的元素都尚未被覆盖。算法选择元素数量最多的子集，即子集 0 ({1, 2})。此时覆盖的元素集变为 {1, 2}。
- 在第二次迭代中，算法再次检查剩余的哪个子集拥有最多的新元素需要覆盖。剩余的子集为 1、2 和 3。每个子集中的新元素如下：
- 子集 1: {2, 3} (1 个新元素，因为 2 已经被覆盖)
- 子集 2: {3, 4} (1 个新元素，因为 3 已经被覆盖)
- 子集 3: {4, 5} (2 个新元素)
- 算法选择子集 2 ({3, 4})，因为它拥有最多的新元素 (1 个)。此时覆盖的元素集变为 {1, 2, 3, 4}。
- 算法完成了 k 次迭代，我们选择了子集 0 和 2。这两个子集总共覆盖了 4 个元素。
- 输出显示选择的子集为 "0 2"，覆盖的元素数量为 "4"。
最大覆盖问题贪心算法的实现：
C++
#include
#include
#include
// Function to find the set with the
// maximum number of new elements
int findmaxnew_elements(
const std::vector<std::set >& subsets,
const std::set& covered)
{
int maxnewelements = 0;
int maxsubsetindex = -1;
for (int i = 0; i < subsets.size(); ++i) {
int new_elements = 0;
for (int element : subsets[i]) {
if (covered.find(element) == covered.end()) {
++new_elements;
}
}
if (newelements > maxnew_elements) {
maxnewelements = new_elements;
maxsubsetindex = i;
}
}
return maxsubsetindex;
}
// Drivers code
int main()
{
int n, m, k;
// Example input:
// Number of elements in
// the universe
n = 5;
// Number of subsets
m = 4;
// Number of subsets to choose
k = 2;
std::vector<std::set > subsets
= { { 1, 2 }, { 2, 3 }, { 3, 4 }, { 4, 5 } };
std::set covered;
std::vector solution;
// Greedy algorithm for Maximum
// Coverage Problem
for (int i = 0; i < k; ++i) {
int maxsubsetindex
= findmaxnew_elements(subsets, covered);
if (maxsubsetindex != -1) {
solution.pushback(maxsubset_index);
covered.insert(
subsets[m