在机器学习、图像处理和信号处理的领域中，高斯核是一个基础且关键的概念，常用于平滑、滤波和特征检测。它以其标志性的钟形曲线而闻名，在从图像处理到复杂分类的各项任务中都扮演着至关重要的角色。
高斯核在数学上定义为：
> k(x,x‘) = exp(-|
^2 / 2\sigma^2)
其中：
- x 和 x‘ 是输入特征向量，例如像素值或任何数值数据点
- |
x – x‘ 表示它们之间的欧几里得距离，反映了数据点在空间中的间距 - \sigma 是一个参数，用于控制核函数的扩散范围（也称为带宽）
- exp 表示指数函数
这个方程提供了一个介于 0 到 1 之间的连续相似度评分，距离较近的点数值较高，而距离较远的点数值则逐渐衰减。这种方式能够有效地将距离以一种平滑、渐进的方式转换为接近程度的度量。
高斯核计算示例
> x = [1, 2], x′ = [2, 3], σ = 1
我们首先计算这两个点之间的平方欧几里得距离：
> |
² = (1−2)² + (2−3)² = 2
现在，应用高斯核公式：
> k(x, x′) = exp(−2 / 2) = exp(−1) ≈ 0.3679
这表明这两点之间的相似度约为 0.3679。
示例：对图像应用高斯模糊
在图像处理中，高斯模糊通常用于平滑图像并降低噪声。它的原理是对像素值进行加权平均，给予靠近给定像素区域中心的值更大的权重——这种权重分配正是基于高斯分布。
示例：5 × 5 高斯核矩阵
> [1, 4, 7, 4, 1]
> [4, 16, 26, 16, 4]
> [7, 26, 41, 26, 7]
> [4, 16, 26, 16, 4]
> [1, 4, 7, 4, 1]
为了确保图像的整体亮度保持不变，该核心会通过将每个值除以所有值之和来进行归一化处理。距离中心较远的像素对最终结果的影响较小。
> 延伸阅读 – Python OpenCV – 平滑与模糊技术
高斯核的主要特性
- 对称性：形状围绕中心对称。
- 半正定性：确保了与支持向量机（SVM）等基于核的算法的兼容性。
- 无限维映射：能够将数据投影到无限维空间中，而无需显式计算新的坐标。
- 局部敏感性：点的影响随着距离的增加而迅速衰减，这有助于有效地捕捉局部模式。
Sigma 参数的影响
- 较小的 Sigma： 适用于检测精细的结构变化，但可能会对噪声比较敏感。
- 较大的 Sigma： 能够捕捉数据中更平滑、更广泛的趋势和变化。
支持向量机（SVM）中的高斯核
在机器学习中，特别是在支持向量机（SVM）里，高斯核被用于处理在原始空间中非线性可分的数据。当使用高斯核进行变换后，数据可以在高维空间中实现线性分离。
- 变换前： 无法使用直线分割数据。
- 核变换后： 在新的高维空间中，线性分割成为可能。
这使得 SVM 能够以极高的精度有效地处理复杂的分类任务。
可视化高斯核的行为
为了更直观地理解高斯核，让我们来看看它是如何将距离转化为相似度值的。
1D 高斯核曲线
下图展示了随着距离增加，相似度是如何迅速下降的：
Python
CODEBLOCK_e0e2c465
输出:
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20250424115621034475/1DGaussiankernel.png">1DGaussiankernel1D 高斯核曲线输出
2D 高斯热力图
通过 2D 高斯核的热力图，我们可以深入了解在图像处理中权重是如何分布的：
Python
`
from scipy.stats import multivariate_normal
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Create grid
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 100), np.linspace(-3, 3, 100))
pos = np.dstack((x, y))
# Mean and covariance for 2D Gaussian
mu = [0, 0]
sigma = [[1, 0], [0, 1]]
rv = multivariate_normal(mu, sigma)
plt.imshow(rv.pdf(pos), cmap=‘hot‘, extent=(-3, 3, -3, 3))
plt.title(‘2D Gaussian Kernel Heatmap‘)
plt.xlabel(‘X‘)
plt.ylabel(‘Y‘)
plt.colorbar(label=‘Weight‘)
# Add watermark text
plt.text(-2.8, 2.6, ‘GeeksforGeeks‘, fontsize=12, color=‘green‘, alpha=0.6)