在机器学习这个充满活力的领域，优化器和损失函数始终是我们提升模型性能的两个核心支柱。损失函数就像是一把尺子，衡量着模型的预期输出与实际输出之间的差距；而优化器则是调整参数的工匠，致力于将这种差距降到最低。均方误差、铰链损失和对数损失是我们熟悉的尺子，而 SGD、ADAM、RMSProp 以及我们今天要重点讨论的牛顿法，则是工匠手中不同的工具。
在我们目前的项目中，我们发现仅仅依靠传统的 SGD 往往无法满足超大规模模型对收敛速度的要求。因此，在这篇文章中，我们将深入探讨牛顿法及其在现代神经网络优化中的地位，并结合 2026 年的最新工程实践，分享我们在生产环境中遇到的挑战和解决方案。
优化方法的演进：从零阶到二阶
让我们回顾一下迭代优化技术的计算分类。这在我们要为特定问题选择算法时至关重要。
- 零阶或直接搜索法：这类方法涉及探索变量 $x$ 的一系列潜在值（类似于网格搜索）。虽然它们以可靠性和实现简单著称，但在高维空间中，其计算成本呈指数级增长。你可能会注意到，现代 AutoML 工具在某些情况下仍在使用这些技术的变体，但在训练深层网络时已不再适用。
- 一阶或梯度法：这是目前的主流。这些技术利用一阶偏导数（梯度）来指导下山路径。SGD、ADAM、RMSPROP 都属于这一类。它们是大多数深度学习框架的默认选择，主要因为其计算效率高。
- 二阶方法：这是我们要深入探讨的领域。这些技术利用二阶偏导数（海森矩阵）来利用曲率信息。牛顿法及其拟牛顿法变体（如 L-BFGS）是典型的代表。虽然计算昂贵，但它们在理论上提供了更优的收敛路径。
梯度下降 vs 牛顿法：不仅仅是速度的区别
在我们的工程实践中，选择梯度下降还是牛顿法，往往是在计算资源和收敛时间之间做权衡。让我们通过一个更细致的对比来理解它们的本质差异。
梯度下降
—
仅依赖一阶导数。想象你在山上只能通过脚下的坡度来判断下山的方向。
绝对主流。适合参数量达十亿甚至万亿级的超大模型。实现简单，且有着极其成熟的硬件加速支持。
线性收敛。容易在鞍点或平坦区域陷入停滞，需要精细调整学习率。
高度敏感。我们在调试 ADAM 或 SGD 时，往往花费大量时间寻找最优的 learning rate schedule。
深入理解牛顿法：从求根到优化
让我们不要止步于教科书上的定义。牛顿法的优雅之处在于它将“求根问题”转化为了“优化问题”。
- 基本概念：如果我们想找到函数 $f(x) = 0$ 的根，我们使用切线迭代公式：$X{t+1} = Xt – f(Xt)/f‘(Xt)$。
- 用于优化：我们的目标是最小化损失函数 $L(x)$。极值点的必要条件是导数为零，即 $L‘(x) = 0$。如果我们把 $f(x)$ 替换为 $L‘(x)$，牛顿法就变成了寻找导数为零的点（即极值点）的算法。
更新公式演变为：
$$\theta{t+1} = \thetat – [
abla^2 L(\theta_t)]^{-1}
abla L(\theta_t)$$
这里的 $
abla^2 L(\theta_t)$ 就是海森矩阵，它描述了损失函数的曲率。
2026 工程实践：牛顿法的现代化应用与挑战
虽然标准的牛顿法在深度学习中很少直接使用，但理解它的核心思想对于我们设计现代优化器至关重要。让我们看看在 2026 年的开发环境中，这些理论是如何转化为实际的工程能力的。
#### 1. 拟牛顿法与 L-BFGS：生产环境的首选
在实际项目中，我们很少直接计算海森矩阵的逆，因为对于一个拥有 $N$ 个参数的模型，海森矩阵的大小是 $N \times N$。对于 GPT-4 这样的大模型，这个矩阵大到无法存储。我们通常使用 L-BFGS (Limited-memory BFGS)，这是一种拟牛顿法。
为什么我们选择 L-BFGS？
它不需要存储完整的矩阵，而是根据最近的几次梯度更新来近似海森矩阵。在很多传统的小规模图像分类或强化学习任务中，L-BFGS 往往能比 ADAM 更快地达到更高的精度。
import torch
import torch.optim as optim
# 场景：我们在微调一个对精度要求极高的中小型模型
# 我们发现 ADAM 在最后阶段难以突破瓶颈，因此尝试二阶方法
def train_with_lbfgs(model, data_loader, epochs=10):
"""
使用 L-BFGS 优化器进行训练的示例。
注意：L-BFGS 需要将整个数据集作为一个批次传入，
或者需要非常 careful 的 closure 处理。
"""
# 这里的 max_iter 对应了 L-BFGS 的一次更新中计算梯度的次数
optimizer = optim.LBFGS(model.parameters(), lr=1, max_iter=20, history_size=100)
for epoch in range(epochs):
def closure():
# 这是一个内部函数，L-BFGS 需要多次调用它来重新计算梯度
optimizer.zero_grad()
output = model(data_loader.dataset.data)
loss = F.nll_loss(output, data_loader.dataset.labels)
loss.backward()
return loss
# optimizer.step(closure) 会多次调用 closure 来计算梯度和更新
# 这类似于在进行多次内部的线搜索
loss = optimizer.step(closure)
print(f"Epoch {epoch}: Loss = {loss.item()}")
在这个例子中，你可能会注意到 closure 函数。这是二阶优化器与一阶优化器在代码实现上的一个显著区别：二阶优化器通常需要多次评估梯度以确定最佳的下降方向，这种机制称为“线搜索”。
#### 2. Hessian-Free Optimization（无海森矩阵优化）
在 2026 年，随着模型参数量的爆炸式增长，一种被称为“Hessian-Free”优化的方法再次受到关注。这种方法利用共轭梯度法来隐式地求解 $H^{-1}
abla L$，而不需要显式地构造出海森矩阵 $H$。这在训练超大型的循环神经网络（RNN）或 Transformer 变体时显示出独特的优势，因为它能更好地处理非凸优化问题中的鞍点。
#### 3. 自然梯度与 K-FAC：连接几何与优化
另一个值得一提的方向是自然梯度法和 K-FAC (Kronecker-factored Approximate Curvature)。它们不再使用欧几里得空间的距离，而是考虑了概率分布空间的几何结构。K-FAC 假设神经网络中的参数是独立的，从而将海森矩阵近似为 Kronecker 积的形式。在现代的深度学习框架（如 TensorFlow Probability 或 PyTorch 的某些实验性分支）中，K-FAC 已经被用于加速大规模分布式训练。
现代 AI 工作流中的优化策略选择
作为 2026 年的 AI 工程师，我们不能仅凭直觉选择优化器。我们依赖于可观测性 和自动化工具链。
在我们最近的一个基于 Cursor 或 Windsurf 的 AI 辅助开发项目中，我们建立了一套自动化决策流程。当我们遇到一个复杂的非凸优化问题时，我们首先尝试使用 ADAM 进行快速原型验证。如果模型收敛缓慢且资源允许，我们会利用 LLM 驱动的代码分析工具，自动将优化器层替换为二阶方法（如 L-BFGS 或 PyTorch 实现的 Shampoo 优化器），并配合 Hyperparameter Tuning (如 Optuna) 进行微调。
我们总结的决策树经验：
- 超大规模模型 (LLM/Vision Transformers): 首选 AdamW 或 Sophia (一种二阶近似的一阶算法，2023年提出，2026年已广泛应用)。牛顿法系通常太重，除非使用特定的分布式近似实现。
- 中小规模模型 / 高精度拟合 (CFD, 数值模拟): 强烈推荐 L-BFGS。其收敛后的残差通常远低于 SGD。
- 在线学习 / 强化学习: SGD 系列仍是王者，因为其单步更新速度快，且对数据漂移鲁棒。
调试与陷阱：我们踩过的坑
在引入二阶优化器后，我们遇到了一些特定的“坑”，这也是你在尝试时需要注意的：
- 内存溢出 (OOM): 即使是 L-BFGS，如果
history_size设置得过大，在显存受限的 GPU 上也会导致 OOM。我们通常从 50 开始尝试，逐步增加。 - 非凸性导致的震荡: 牛顿法假设函数在局部是二次的（凸的）。在深度学习的非凸损失面上，海森矩阵可能不是正定的，这会导致算法向错误的方向（上坡）移动。解决方案：引入“阻尼”项，即 Levenberg-Marquardt 修正，修改更新公式为 $(H + \lambda I)^{-1}
abla L$，保证矩阵正定。
- 批量大小的限制: 正如代码示例所示，二阶方法通常需要大批量以准确估计曲率。如果你的 GPU 显存不足以容纳大的 Batch Size，可能需要考虑梯度累积或分层优化。
展望未来：Agentic AI 与自适应优化
展望未来，我们正处于 Agentic AI (代理式 AI) 的时代。现在的优化器不再仅仅是手动调参的工具。我们看到了 Meta-Learning (学会学习) 的兴起，即使用另一个神经网络来动态生成优化器的更新规则。这意味着，未来的优化器可能会根据当前的梯度分布，自动在一阶和二阶特性之间切换，而无需人工干预。
例如，Google DeepMind 最近的研究方向之一就是让模型通过强化学习来学习如何更新自己的权重，这实际上是在用 AI 重新发明“优化器”。
结语
优化不仅仅是让 Loss 下降，它是连接理论数学与工程实现的桥梁。虽然梯度下降因其简单和通用性占据了主导地位，但牛顿法及其衍生出的二阶思想为我们提供了宝贵的视角和工具。无论是在微调高精度模型时使用 L-BFGS，还是在设计新的自适应学习率算法时借鉴曲率信息，理解这些底层的数学原理都能让我们在面对复杂的 2026 年技术栈时做出更明智的决策。
希望这篇文章能帮助你从更深的层次理解神经网络优化的艺术。让我们继续探索，不断迭代，正如我们的优化器一样。