黎曼积分是一种通过将许多微小的矩形相加来定义曲线下面积的方法，或者更通俗地说，是计算 x 轴上两点之间总累积量的方法。它的工作原理是将区间划分为许多微小的子区间，在每一部分上构建矩形，并将它们的面积相加。随着这些矩形宽度的趋近于零，这个总和会趋近于一个精确的数值，这个数值就被称为黎曼积分。
黎曼积分的定义
如果当划分的范数趋近于零时，无论样本点 {ci} 如何选择，黎曼和的极限都存在，那么函数 ƒ 在 [a, b] 上是黎曼可积的。这个极限被称为 f 在 [a, b] 上的黎曼积分，记作：
> \inta^b f(x) \, dx = \lim{
\to 0} S(f, P, \{c_i\})
黎曼和
黎曼和是一种通过将面积分解成更小的部分来估算曲线下总面积的方法。想象一下，我们将曲线下的面积划分为若干个矩形。通过将这些矩形的面积相加，我们就可以得到曲线下总面积的近似值。我们使用的矩形越多，估算值就越接近实际面积。黎曼和帮助我们理解并计算在特定区间内曲线所代表的总累积量或数值。
例如：为了找到曲线 y = x2 在 x = 0 和 x = 2 之间的面积。
!Untitled-Diagram-(2).webp)
我们可以使用黎曼和，通过将区间 [0, 2] 分成更小的子区间，并用一个矩形来近似每个子区间的面积，从而估算出这个面积。
假设我们将区间分为四个相等的子区间：[0, 0.5]、[0.5, 1]、[1, 1.5] 和 [1.5, 2]。
对于每个子区间，我们可以通过计算子区间内特定点的函数 y=x2 的值来确定矩形的高度。为了简单起见，让我们选择每个子区间的左端点。
- 对于第一个子区间 [0, 0.5]，矩形的高度为 y = (0)2 = 0。
- 对于第二个子区间 [0.5, 1]，矩形的高度为 y = (0.5)2 = 0.25。
- 对于第三个子区间 [1, 1.5]，矩形的高度为 y = (1)2 = 1。
- 对于第四个子区间 [1.5, 2]，矩形的高度为 y = (1.5)2= 2.25。
将每个高度乘以相应子区间的宽度（在本例中为 0.5），即可得出每个矩形的面积。
现在，将所有矩形的面积相加，即可得到总曲线下面积的近似值。
在本例中，矩形面积的总和约为 0×0.5 + 0.25×0.5 + 1×0.5 + 2.25×0.5 = 1.125
因此，曲线 y = x2 在 x = 0 和 x = 2 之间曲线下面积的黎曼和近似值约为 1.125 平方单位。
黎曼积分公式
黎曼积分公式表示在指定区间上计算函数积分的过程。在其基本形式中，对于在区间 [a,b] 上定义的函数 f(x)，黎曼积分由下式给出：
> \int_{a}^{b} f(x) \, dx
这个符号表示在 x = a 和 x = b 之间的函数 f(x) 曲线下无数个无穷小的矩形面积之和。积分符号 ∫ 代表积分，f(x) 是被积函数，dx 表示积分变量，a 和 b 分别是积分的下限和上限。
黎曼积分的性质
黎曼积分拥有几个重要的性质，使其在微积分和分析中非常有用。以下是一些关键性质：
线性
黎曼积分是线性的，这意味着它满足加法和标量乘法的性质。也就是说，对于函数 f(x) 和 g(x) 以及常数 c 和 d，我们有：
> \int{a}^{b} (c f(x) + d g(x)) \, dx = c \int{a}^{b} f(x) \, dx + d \int_{a}^{b} g(x) \, dx
可加性
函数之和的积分等于它们积分的和。也就是说，对于函数 f(x) 和 g(x)，我们有：
> \int{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx = \int{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx
单调性
黎曼积分的单调性性质指出，如果一个函数在区间内总是大于或等于另一个函数，那么在该区间上第一个函数的积分应大于或等于第二个函数的积分。设 f 和 g 是闭区间 [a, b] 上的两个黎曼可积函数。如果对于所有 x ∈ [a, b]，都有 f(x) ≤ g(x)，那么：
> \inta^b f(x) \, dx \leq \inta^b g(x) \, dx
常数倍法则
函数的常数倍的积分等于该常数乘以函数的积分。也就是说，对于一个常数