函数的零点是指当这些实数、复数或虚数值代入函数时，函数值变为零的数值。根据函数类型的不同，我们有多种方法可以用来求解函数的零点。在描述函数特征或绘制函数图像时，零点起着至关重要的作用。
在本文中，我们将探讨求解函数零点的不同方法。
目录
- 函数的零点
- 求解函数零点的方法
函数的零点
对于一个函数 f(x)，
> 如果 f(a) = 0，那么 x = a 就是该函数的一个零点/根。
因此，所有满足 f(x) = 0 的 a 的值（无论是实数、复数还是虚数）都被称为函数的零点。例如，考虑一个二次函数 f(x) = x² – 3x + 2。现在将 x = 2 代入函数：
f(x) = 2² – 3 × 2 + 2 = 0
再次将 x = 1 代入函数：
f(x) = 1² – 3 × 1 + 2 = 0
所以，a = 1, 2 就是该函数的零点。
求解函数零点的方法多种多样，主要包括：
- 图像法
- 因式分解法
- 二次公式法
- 牛顿-拉夫逊法
- 二分法
现在让我们详细了解一下每种方法。
1. 图像法
我们可以通过绘制函数的图像来找到函数的零点。我们知道，对于函数的任何零点/根，f(x) 的值都为零。因此，函数图像与 x 轴相交的所有点的 x 坐标就代表了函数的零点。
例如，函数 f(x) = x² – 25/16 的图像与 x 轴相交于两点，即 x = 5/4 和 x = -5/4，这两个值就是给定函数 f(x) 的零点。
> 值得注意的是，图像法只能用来求解函数的实根/实零点。
同理，我们可以利用图像法来求解任何函数的根，例如 对数函数、多项式函数 和 指数函数。
阅读更多关于 多项式函数图像 的内容。
2. 因式分解法
当函数可以被分解成更简单的组成部分时，因式分解法就非常有用。要使用因式分解法求解函数的零点，我们只需将函数转换为简单的因式，然后将每个因式设为零并求解。将因式设为零背后的原理是：当表达式的乘积为零时，其中一个或两个因式必须为零。例如，我们可以通过因式分解法找到函数 f(x) = x² – 5x + 6 的零点，步骤如下：
> f(x) = x² – 5x + 6
>
>
>
> f(x) = (x – 3)(x – 2)
>
>
>
> 令，x – 3 = 0 且 x – 2 = 0
>
>
>
> 所以 x = 3, 2
这就是给定二次函数所需的根。
阅读更多关于 多项式函数因式分解 的内容。
3. 二次公式法
求解函数根的最佳代数方法之一是使用二次公式。这种方法适用于求解二次函数的根。要使用此方法求解二次函数的根，只需将 a, b, c 的值代入二次公式中，其中 a, b, c 分别代表 x², x 和常数项的系数。
二次公式：
> root = (-b + √b2-4ac ) / 2a
>
>
>
> 或
>
>
>
> root = (-b -√b2-4ac ) / 2a
该方法可用于求解：
- 实根：当 b² – 4ac >= 0
- 虚根：当 b² – 4ac < 0
4. 牛顿-拉夫逊法
牛顿-拉夫逊法 是求解实值函数根最常用的方法之一。该方法以艾萨克·牛顿爵士和约瑟夫·拉夫逊的名字命名。牛顿-拉夫逊法的运作方式是先假设一个初始迭代值 x₀，然后逼近接近根的下一个迭代值 (x₁)。以下是牛顿-拉夫逊法的工作原理：
设 x₁ = x₀ + h 是函数的根，其中 x₀ 是方程的近似根。
那么
f(x₁) = 0 或 f(x₀ + h) = 0，
使用 泰勒定理 展开上述方程：
f(x₀) + hf‘(x₀) + … = 0
所以，
h = -f(x₀) / f‘(x₀) 或者我们可以说
> x1 = x0 – f(x0) / f‘(x0)
同理，我们可以求出 x₂, x₃, x₄….. 的进一步近似值。
或者
> Xn+1 = Xn – f(xn) / f‘ (xn)
这就是牛顿-拉夫逊公式。
5. 二分法
二分