反常积分是指积分区间中的一个或两个边界趋于无穷大，或者被积函数在积分区间内存在垂直渐近线的定积分。计算延伸至无穷远的面积似乎是一个棘手的问题，但通过一些巧妙的变换，我们是可以解决这类问题的。
让我们考虑一个函数 f(x)，其曲线与 x 轴在 x = a 和 x = b 之间围成的面积表示为，
> \int^{b}_{a}f(x)dx
因为这里的两个极限都是有限的，所以这被称为常义积分（Proper Integral）。具有一个无限限的常义积分表示为，
> \int^{\infty}{a}f(x)dx 或 \int^{a}{-\infty}f(x)dx
让我们通过一个例子来更好地理解这一点。
示例：计算以下定积分。
\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x^2}dx
解：
> 该函数的图如下图所示。目标是计算提到的面积。请注意，随着函数渐近地趋于零，该面积并没有发散。
> !image
> \int^{\infty}_{1}\frac{1}{x^2}dx
>
> 这可以重写为，
>
> \lim{n \to \infty}\int^{n}{1}\frac{1}{x^2}dx
>
> 现在这只是一个定积分，为了求解它，我们可以使用微积分基本定理的第二部分。
>
> \lim{n \to \infty}[-\frac{1}{x}]^{n}{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[1 – \frac{1}{n}] \\ = 1
有时积分的两个极限边界都是无穷大。这类积分被称为具有两个无限限的反常积分。
> \int^{\infty}_{-\infty}f(x)dx
在前面的函数中，计算到无穷大的面积极限是有限的。但在很多情况下，积分并不收敛于一个有限值。从直观上看，这意味着曲线下的面积不是无限的。让我们通过一个这类情况的例子来更好地理解此类积分。
示例：计算以下积分。
\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x}dx
解：
> 该函数的图如下所示。
> !image
> 让我们使用与上面相同的方法来计算这条曲线下的面积。
>
> \int^{\infty}_{1}\frac{1}{x}dx
>
> 重写给定的积分。
>
> \lim{n \to \infty}\int^{n}{1}\frac{1}{x}dx
>
> 现在这又是一个定积分，为了求解它，可以使用微积分基本定理的第二部分。
>
> \lim{n \to \infty}[ln(x)]^{n}{1} \\ = \lim{n \to \infty}[ln(n) – ln(1)] \\ = \lim{n \to \infty} ln(n) = \infty
>
> 由于该极限发散。曲线下的面积是无限的。
进一步阅读，
问题 1：计算以下定积分。
\int^{\infty}_{1}\frac{1}{x^3}dx
解：
> \int^{\infty}_{1}\frac{1}{x^3}dx
>
> 这可以重写为，
>
> \lim{n \to \infty}\int^{n}{1}\frac{1}{x^3}dx
>
> 现在这只是一个定积分，为了求解它，可以使用微积分基本定理的第二部分。
>
> \lim{n \to \infty}[-\frac{1}{2x^2}]^{n}{1} \\ = \lim_{n \to \infty}[\frac{1}{2} – \frac{1}{n}] \\ = \frac{1}{2}
问题 2：计算以下定积分。
\int^{\infty}_{2}\frac{x + 1}{x^2}dx
解：
> \int^{\infty}_{2}\frac{x + 1}{x^2}dx
>
> 这可以重写为，
>
> \lim{n \to \infty}\int^{n}{2}\frac{x + 1}{x^2}dx
>
> 现在这只是一个定积分，为了求解它，可以使用微积分基本定理的第二部分。
>
> \lim{n \to \infty}\int^{n}{2}\frac{x + 1}{x^2}dx \\ = \lim{n \to \infty}\int^{n}{2}\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}dx \\ = \lim{n \to \infty}[\ln(x)]^n2 + [\frac{-1}{x}]^n{2} \\ = \lim{n \to \infty}[\ln(\infty) – \ln(2)] + 1
>
> 该极限计算结果为无穷大。因此，曲线下的面积是无限的。
问题 3：计算以下定积分。
\int^{\infty}_{1}\frac{x + 1}{x^3}dx
解：
> \int^{\infty}_{1}\frac{x + 1}{x^3}dx
>
> 这可以重写为，
>
> \lim{n \to \infty}\int^{n}{1}\frac{x + 1}{x^3}dx
>
> 现在这只是一个定积分，为了求解它，可以使用微积分基本定理的第二部分。
>
> \lim{n \to \infty}\int^{n}{1}\frac{x + 1}{x^3}dx \\ = \lim{n \to \infty}\int^{n}{1}\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}dx \\ = \lim{n \to \infty}[\frac{-1}{x}]^n1 + [\frac{-1}{2x^2}]^n{1} \\ = \lim{n \to \infty}[1 – \frac{1}{n}] + [\frac{1}{2} – \frac{1}{n}] \\ = 1 + \frac{1}{2} \\ = \frac{3}{2}
>
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