我们在学习表面积计算这一章时，至少都有过一次这样的疑问：如何求铅笔、水桶、陶罐和药丸等日常物品的表面积，对吧？其实，这并没有看起来那么困难——因为这些物品都可以简化为由简单的基本立体图形组合而成。在阅读完本文后，你将从基础开始，彻底掌握如何求组合体的表面积。
目录
目录
- 什么是表面积？
- 基本立体的表面积
- 组合体的表面积
- 两个立体的组合
- 三个立体的组合
- 组合体表面积的 solved Problems（已解问题）
- 不规则形状怎么办？
- 在现实生活实例中的应用
什么是表面积？
> 表面积是指三维物体表面所占据的总面积。它是物体所有表面的面积之和。
总表面积 (TSA)
> 这个术语通常用于同时具有曲面和平面的物体，例如圆柱、圆锥和球体。TSA 包括物体所有表面的面积，既包括曲面也包括平面。
曲面积 (CSA)
> 这个术语通常仅指物体曲面的面积，不包括任何平面。它经常用于圆柱、圆锥和其他类似形状的语境中。例如，圆柱的 CSA 是其侧面积（即弯曲部分），而不包括底面（顶部和底部）。
基本立体的表面积
在开始求组合体的表面积之前，让我们快速回顾一下我们所熟知的一些基本立体的公式：
这些公式将是基础，因为我们会将给定的立体分解为这些基本形状，其公式已在上文列出。让我们在下一节中更好地理解这一点。
组合体的表面积
组合体的总表面积 (TSA) 是指其中所有单个立体的表面积之和。计算 TSA 的具体公式取决于立体的具体组合方式。
如果你有不同的立体组合（例如，圆柱、球体、立方体），你需要分别使用各自的公式计算每个立体的表面积，然后将所有这些单独的表面积相加，从而求得总表面积。
两个立体的组合
当你拥有两个立体的组合时，例如顶部有一个圆锥的圆柱，或者一个面上有半球体的立方体，计算总表面积涉及求出每个单个立体的表面积，然后将它们相加。
圆锥和半球
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20240510164914/math-ConeHemisphere.webp">math-ConeHemisphere
> 这个图形可以简化为一个圆锥和一个半球。但请注意，在计算曲面积时，我们不考虑半球和圆锥的底面，因为它们没有暴露在外部。因此，我们仅将立体的曲面积相加。
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> ∴ 图形的 S.A. = 圆锥的 C.S.A + 半球的 C.S.A
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> 图形的 S.A. = πrl + 2πr²
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> 图形的 S.A. = πr(l+2r)
圆柱和圆锥
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20240510164916/math-cylindercone.webp">math-cylindercone
> 为了计算这个立体的总表面积，我们需要考虑圆柱的曲面积、圆柱底面的面积以及圆锥的曲面积（不包括 TSA，因为圆锥的底面在立体内部）
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>
> ∴ 图形的 S.A. = 圆柱的 CSA + 圆柱的底面积 + 圆锥的 CSA
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>
> 图形的 S.A. = 2πrh + πr² + πrl
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>
> 图形的 S.A. = πr(2h + r + l)
圆柱和立方体
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20240510164917/math-cylindercube.webp">math-cylindercube
> 在这里，由于圆柱顶部有重叠区域，我们计算该立体表面积的方法如下：
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> ∴ 图形的 S.A. = (圆柱的 CSA + 圆柱的底面积 + 立方体的 TSA) – 圆柱的顶面积
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>
> 图形的 S.A. = (2πrh + πr² + 6a²) – πr²
>
>
>
> 图形的 S.A. = 2πrh + 6a²
圆锥和立方体
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20240510164914/math-conecube.webp">math-conecube
> 在这里，由于圆锥顶部有重叠区域，我们计算该立体表面积的方法如下：
>
>
>
> ∴ 立体的 SA = (圆锥的 CSA + 立方体的 TSA) – 圆锥的顶面积
>
>
>
> 立体的 SA = ( πrl + 6a²) – πr²
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>
> 立体的 SA = πr(l + r) + 6a²
立方体和半球
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20240510164915/math-cubehemisphere.webp">math-cubehemisphere
> 在这里，由于半球底部有重叠区域，我们计算该立体表面积的方法如下：
>
>
>
> ∴ 立体的 SA = (半球的 CSA + 立方体的 TSA) – 半球的底面积
>
>
>
> 立体的 SA = (2πr² + 6a²) – πr²
>
>
>
> 立体的 SA = πr² + 6a²
三个立体的组合
让我们看一个由三个基本立体组成的例子：一个圆柱，两端各连接一个半球。
!<a href="https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/uploads/20240510164915/math-cylinderhemisphere.webp">math-cylinderhemisphere
> 正如我们之前所做的，我们将其分解为各个组成部分：
> 1. 中央圆柱
> 2. 左侧半球
> 3. 右侧半球
>
> 现在，关于表面积：我们不包括圆柱的圆形底面，也不包括半球的平面，因为它们被连接在一起，不是暴露在外的表面。
>
> 我们只需要将暴露在外的部分的表面积相加。
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>
>
> ∴ 图形的 S.A. = 圆柱的 CSA + 左半球的 CSA + 右半球的 CSA
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> S.A. of figure = 2πrh + 2πr² + 2πr²
>
>
>
> S.A. of figure = 2πr(h + 2r)
组合体表面积的已解问题
让我们通过一些例子来巩固我们的理解。
示例 1：蜡厂模型
一家蜡厂生产半径为 4.2 cm、高为 12 cm 的圆柱形蜡烛。每根蜡烛的顶部都放置着一个圆锥形火焰。圆锥的底面半径与圆柱相同，高为 5 cm。计算蜡烛模型的总表面积。
解决方案：
该模型是圆锥和圆柱的组合。
- 识别各个部分：
* 圆柱：半径 $r = 4.2$ cm，高 $h = 12$ cm。
* 圆锥：半径 $r = 4.2$ cm，高 $h‘ = 5$ cm。
- 计算圆锥的斜高 (l)：
我们需要圆锥的斜高来求其 CSA。
$l = \sqrt{r^2 + h‘^2} = \sqrt{4.2^2 + 5^2} = \sqrt{17.64 + 25} = \sqrt{42.64} \approx 6.53$ cm。
- 计算各部分的表面积：
* 圆锥的 CSA = $\pi r l = \frac{22}{7} \times 4.2 \times 6.53 \approx 86.23$ cm²。
* 圆柱的 CSA = $2\pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 12 = 316.8$ cm²。
* 圆柱的底面积 = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 4.2^2 \approx 55.44$ cm²。（由于底部是暴露的，我们加上这个）
- 总表面积：
总表面积 = 圆锥的 CSA + 圆柱的 CSA + 圆柱的底面积
总表面积 $\approx 86.23 + 316.8 + 55.44 = 458.47$ cm²。
示例 2：玩具原型
一个玩具由一个半径为 3.5 cm 的圆锥和一个底面半径相同的圆柱组成。圆柱的总高为 10 cm，圆锥的高为 4 cm。计算该玩具的总表面积。
解决方案：
该玩具是圆锥和圆柱的组合。
- 识别各个部分：
* 圆锥：半径 $r = 3.5$ cm，高 $h = 4$ cm。
* 圆柱：半径 $r = 3.5$ cm，高 $H = 10 – 4 = 6$ cm。（假设题目中的 10cm 是总高度）
- 计算圆锥的斜高 (l)：
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3.5^2 + 4^2} = \sqrt{12.25 + 16} = \sqrt{28.25} \approx 5.31$ cm。
- 计算各部分的表面积：
* 圆锥的 CSA = $\pi r l = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 5.31 \approx 58.41$ cm²。
* 圆柱的 CSA = $2\pi r H = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 6 = 132$ cm²。
* 圆柱的底面积 = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 3.5^2 = 38.5$ cm²。
- 总表面积：
总表面积 = 圆锥的 CSA + 圆柱的 CSA + 圆柱的底面积
总表面积 $\approx 58.41 + 132 + 38.5 = 228.91$ cm²。
不规则形状怎么办？
对于更复杂的形状，其表面积没有简单的公式，我们通常使用积分等高等数学方法来解决。然而，这篇文章的主要思想是将复杂的形状分解为我们所知道的基本立体。
在现实生活实例中的应用
计算组合体的表面积不仅仅是一个数学练习；它在许多现实生活的场景中都有实际应用。
- 建筑与施工： 建筑师需要计算复杂建筑（如带有圆顶的建筑物）的表面积，以确定所需的材料（如油漆、屋顶板等）。
- 包装： 为特定产品设计包装时，了解确切的表面积对于最大限度地减少材料浪费和确保合身至关重要。
- 制造： 工程师计算机器部件的表面积，以确定热传递率或所需的电镀或油漆量。
- 医学： 药丸的表面积会影响其溶解速度和药物的释放方式。
总结
总而言之，任何复杂的物体都可以分解为简单的立体。组合体的表面积是基本立体的表面积之和，但要记住要减去重叠部分。当我们能想象物体背后的数学原理时，它就变得简单多了。
常见问题
为什么我们不直接加上组合体的总表面积 (TSA)？
因为当一个立体放置在另一个立体之上时，某些表面会被覆盖或重叠。我们只计算物体暴露在外的表面积。
半球和圆锥的底面积总是被忽略吗？
不一定。这取决于具体的组合。只有当底面是与其他形状连接的重叠部分，或者放置在平面（如地面）上时，它才会被忽略。