作为一名控制系统的工程师或学生，你一定遇到过这样的挑战：在设计一个反馈控制系统时，如何直观地判断当系统的某个参数（通常是增益 $K$）发生变化时，系统的稳定性会如何改变？单纯地解微分方程往往既繁琐又难以洞察全局。这时候，根轨迹 就是我们手中最强大的武器之一。
在这篇文章中，我们将不仅学习如何绘制根轨迹，更重要的是理解其背后的物理意义。我们将一起探索幅角条件与幅值条件的奥秘，掌握 9 条核心构建规则，并通过实际的 Python 代码示例来模拟这一过程。无论你是为了应对考试，还是为了在实际工程中优化 PID 控制器，这篇深入浅出的指南都将为你提供坚实的理论基础和实战工具。
什么是根轨迹？
在控制理论中，我们非常关心闭环传递函数的特征方程的根（即闭环极点），因为它们直接决定了系统的动态性能（如超调量、调节时间）和稳定性。
根轨迹是一种图解方法，用于在 s 平面（复平面）上绘制特征方程的根随系统参数变化（通常是从 0 变化到无穷大）时的轨迹。
简单来说，当我们在实验台上慢慢旋大放大器的增益旋钮时，系统的特性会从欠阻尼（震荡）变为过阻尼（迟缓），甚至可能变得不稳定（发散）。根轨迹图就是这一过程的“地图”。
#### 我们为什么要关注它？
- 可视化稳定性：一眼就能看出在什么增益范围内系统是稳定的。
- 预测瞬态响应：极点的位置决定了阻尼比 ($\zeta$) 和固有频率 ($\omega_n$)，从而决定了系统的响应速度。
- 设计补偿器：通过添加极点和零点来改变根轨迹的走向，使其满足我们的设计要求。
幅角条件和幅值条件：构建的基石
在开始画图之前，我们必须理解为什么根轨迹会是那个样子。它的数学基础源于特征方程：
$$ 1 + G(s)H(s) = 0 $$
这可以改写为：
$$ G(s)H(s) = -1 $$
因为 $s$ 是复变量，这个等式实际上包含两个部分：幅角和幅值。这就是著名的埃文斯条件。
#### 1. 幅角条件
方程 $G(s)H(s) = -1$ 意味着在复平面上，向量 $G(s)H(s)$ 必须指向负实轴。换句话说，其相角必须等于 $180^\circ$（或 $\pi$ 弧度）的奇数倍。
$$ \angle G(s)H(s) = \pm 180^\circ (2k + 1), \quad k = 0, 1, 2, \dots $$
实际意义：这是判断任意点 $s_1$ 是否在根轨迹上的充要条件。如果 s 平面上的某个点，所有开环零点到该点的向量角度之和，减去所有开环极点到该点的向量角度之和，结果是 $180^\circ$ 的奇数倍，那么这个点就在根轨迹上。
#### 2. 幅值条件
除了角度要对，向量的长度也必须满足要求，即模值为 1。
$$
= 1 $$
或者写成增益 $K$ 的形式：
$$ K = \frac{\prod
}{\prod
} $$
实际意义：幅值条件通常不用于确定轨迹的形状（那是幅角条件的工作），而是用于确定轨迹上某个特定点 $s_1$ 所对应的增益值 $K$。当我们根据幅角条件画好轨迹后，如果想知道在极点 A 处增益是多少，就要用尺子量距离，代入幅值公式计算。
根轨迹的构建规则：从入门到精通
虽然现在计算机可以瞬间画出完美的根轨迹，但作为工程师，掌握手绘规则的近似画法对于快速判断系统趋势至关重要。让我们遵循以下 9 条黄金规则。
#### 规则 1：起点与终点
- 起点：根轨迹起始于开环极点。这对应于增益 $K=0$ 的情况。特征方程 $1 + K \cdot \text{zeros}/\text{poles} = 0$ 在 $K=0$ 时即为极点为 0。
- 终点：根轨迹终止于开环零点（包括无穷远处的零点）。这对应于 $K \to \infty$ 的情况。
> 注意：如果极点数 $P$ 大于零点数 $Z$，那么会有 $P – Z$ 条轨迹分支趋向于无穷远处。
#### 规则 2：分支数
根轨迹的分支数等于特征方程中最高阶次，通常由开环极点数 $P$ 和零点数 $Z$ 中的较大者决定：
$$ N = \max(P, Z) $$
#### 规则 3：实轴上的轨迹
实轴上的某一段是否存在根轨迹，取决于该线段右侧的开环极点和零点总数。
- 判定方法：如果在实轴的某一段上，其右侧的开环极点与零点个数之和为 奇数，则该段是根轨迹的一部分。
这是最常考也是最易出错的规则，请记住“右侧奇数个”。
#### 规则 4：渐近线（质心与角度）
当 $K \to \infty$ 时，那些趋向于无穷远的根轨迹分支会沿着直线（渐近线）延伸。我们需要确定这些直线的位置和角度。
- 渐近线倾角：
$$ \phi_A = \frac{(2k + 1)180^\circ}{P – Z}, \quad k = 0, 1, \dots, P-Z-1 $$
- 渐近线交点（质心）：
渐近线在实轴上的交点 $\sigma_A$ 由下式给出：
$$ \sigma_A = \frac{\sum \text{实部极点} – \sum \text{实部零点}}{P – Z} $$
这个交点其实就是所有极点和零点的“重心”。
#### 规则 5：分离点与会合点
根轨迹从实轴上的极点出发，往往会先相遇，然后离开实轴进入复平面；或者从复平面返回实轴并在此相遇。
- 分离点：根轨迹离开实轴的点（对应重根，阻尼比 $\zeta = 1$）。
- 会合点：根轨迹返回实轴的点。
- 求解方法：由特征方程 $1 + G(s)H(s) = 0$ 得出 $K = -\frac{\text{Den}(s)}{\text{Num}(s)}$。对 $K$ 关于 $s$ 求导并令其为 0：
$$ \frac{dK}{ds} = 0 $$
解出的实数根必须位于实轴的根轨迹段上才是有效的分离/会合点。
#### 规则 6：出射角与入射角
对于复平面上的开环极点和零点，轨迹离开和进入的角度很关键。
- 出射角（从复数极点出发）：
$$ \theta_{dep} = 180^\circ – (\sum \text{其他极点到该点的角度} – \sum \text{零点到该点的角度}) $$
- 入射角（进入复数零点）：
$$ \theta_{arr} = 180^\circ – (\sum \text{其他零点到该点的角度} – \sum \text{极点到该点的角度}) $$
#### 规则 7：与虚轴的交点
这是判断系统稳定性的关键。根轨迹穿过虚轴意味着系统从稳定变为不稳定（临界稳定）。我们将 $s = j\omega$ 代入特征方程，或者使用劳斯判据 令 $s^1$ 行为零来求解增益 $K$ 和频率 $\omega$。
实战演练：Python 绘制根轨迹
理论说得再多，不如看一段代码。我们将使用 Python 的 control 库来演示如何快速构建和分析根轨迹。这种方法在工程调试和算法验证中非常实用。
#### 环境准备
首先，你需要安装 control 库（通常配合 numpy 和 scipy 使用）。
#### 示例 1：基础二阶系统
让我们考虑一个经典的二阶开环传递函数：
$$ G(s) = \frac{K}{s(s+2)} $$
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
# 定义传递函数分子和分母
# 代表 K / (s^2 + 2s)
num = [1] # 分子系数
den = [1, 2, 0] # 分母系数，对应 s^2 + 2s + 0
# 创建传递函数对象
sys = ctl.TransferFunction(num, den)
# 绘制根轨迹
plt.figure(figsize=(8, 6))
# control 库会自动处理增益 K 从 0 到无穷大的变化
roots, gains = ctl.root_locus(sys, kvect=np.linspace(0, 100, 1000))
plt.title(‘示例 1: G(s) = K / (s(s+2)) 的根轨迹‘)
plt.grid(True)
plt.show()
代码解析：
- 我们定义了极点在 $s=0$ 和 $s=-2$。根据规则 1，轨迹将从这两点出发。
- 因为没有有限零点，根据规则 4，两条分支都将趋向于无穷远。
- 实轴上 $(-2, 0)$ 之间的右侧极点+零点数为 1（奇数），所以存在根轨迹。
- 分离点应该在 $s=-1$ 处。你可以运行代码验证这一点。
#### 示例 2：添加零点的影响（PID 设计基础）
在实际工程中，我们经常会添加零点来改善性能。让我们看看加上 $s+1$ 这个零点会发生什么。
$$ G(s) = \frac{K(s+1)}{s(s+2)} $$
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
# 分子：(s+1) -> [1, 1]
# 分母：s(s+2) -> [1, 2, 0]
num_z = [1, 1]
den_z = [1, 2, 0]
sys_z = ctl.TransferFunction(num_z, den_z)
plt.figure(figsize=(8, 6))
roots_z, gains_z = ctl.root_locus(sys_z, kvect=np.linspace(0, 50, 500))
plt.title(‘示例 2: 添加零点后的根轨迹 G(s) = K(s+1) / (s(s+2))‘)
plt.grid(True)
plt.show()
深入分析：
你会发现，添加了这个左半平面的零点后，根轨迹的形状发生了剧烈变化（通常被称为“弯曲”轨迹）。
- 这就是 PD 控制 的原理：零点吸引根轨迹，使其向更稳定、阻尼更大的区域弯曲。
- 在示例 1 中，随着 $K$ 增大，极点逐渐趋向垂直线（虚部增大），系统稳定性变差。而在示例 2 中，极点可能会被“拉”向实轴，形成圆弧状轨迹，系统在大增益下依然保持良好的阻尼特性。
#### 示例 3：高阶系统与稳定性判据
让我们看一个更复杂的三阶系统，并找出它与虚轴交点处的增益。
$$ G(s) = \frac{K}{s(s+2)(s+4)} $$
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctl
# 分母展开: s(s+2)(s+4) = s^3 + 6s^2 + 8s
den_h = [1, 6, 8, 0]
num_h = [1]
sys_h = ctl.TransferFunction(num_h, den_h)
# 为了更清楚地看到虚轴交点，我们可以自定义增益范围
# 或者使用 control 库的自动计算功能
# 这里我们绘制并手动估算临界增益
figure, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
roots_h, gains_h = ctl.root_locus(sys_h, kvect=np.linspace(0, 50, 1000), plot=True)
# 添加虚轴参考线
ax.axvline(x=0, color=‘r‘, linestyle=‘--‘)
ax.axhline(y=0, color=‘r‘, linestyle=‘--‘)
plt.title(‘示例 3: 三阶系统的稳定性分析‘)
plt.grid(True)
print("提示：观察根轨迹穿过虚轴的位置，那是对应的临界 K 值")
实际应用见解：
对于这个三阶系统，你会发现当 $K$ 超过某个特定值（例如 48 左右）时，根轨迹穿过虚轴进入右半平面。这意味着：
- $0 < K < 48$：系统稳定。
- $K > 48$：系统不稳定。
- 这在工程设计中非常重要，它定义了你的安全操作裕度。
添加开环极点和零点的影响总结
通过上述代码实验，我们可以总结出一些实战经验：
- 添加极点：
* 将根轨迹推向右侧。
* 倾向于降低系统的稳定性（因为极点向虚轴靠近）。
* 在积分控制（I 控制）中添加积分环节相当于在原点添加极点，这虽然能消除稳态误差，但会降低稳定性，因此通常需要配合 PD 补偿。
- 添加零点：
* 将根轨迹拉向左侧。
* 倾向于增加系统的稳定性。
* 可以显著改善系统的瞬态响应（减少超调，加快调节）。这就是为什么微分控制（D 控制）能有效抑制震荡的原因。
常见问题与最佳实践
Q: 我计算机算出的根轨迹和手绘的不完全一样，谁是对的？
A: 相信计算机。手绘规则是近似估算，特别是渐近线在远离中心区域时才准确。但在初始阶段，手绘规则能极快地帮你判断极点的大致走向。
Q: 如果分离点方程的解不是实数怎么办？
A: 那意味着在该参数配置下，根轨迹没有实轴上的分离点，或者它们会直接在复平面上分叉。
Q: 如何处理延迟环节 $e^{-Ts}$？
A: 传统的根轨迹方法很难直接处理延迟，因为 $e^{-Ts}$ 是超越函数，会有无穷多个极点零点。这种情况下，建议使用 Padé 近似将 $e^{-Ts}$ 转化为有理函数，或者直接使用频率响应法（Bode 图）进行分析。
结语
根轨迹不仅仅是一张图，它是连接数学模型与物理世界动态行为的桥梁。通过理解幅角条件和幅值条件，利用我们讨论的 9 条规则，以及结合 Python 等现代工具进行仿真，你可以自信地面对任何控制系统的设计挑战。
希望这篇文章不仅帮你理清了根轨迹的构建步骤，更让你体会到了控制设计的艺术。下一次当你需要调整 PID 参数时，不妨试着在脑海中画出根轨迹的走向，预测一下你的调整会让系统变得更“驯服”还是更“狂野”。祝你调试顺利！