毕奥-萨伐尔方程描述了载流导线产生的磁场。在理论模型中，我们将这种导体或导线抽象表示为一个称为“电流元”的矢量物理量。接下来，让我们详细探讨一下毕奥-萨伐尔定律及其公式。
毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart Law)
该定律阐述了载流导体上一段微小元在某一点产生的磁感应强度的大小。它与以下几个因素直接相关：
- 与电流大小成正比
- 与导线元的长度成正比
- 与导线元和连接导线中心到该点的直线之间夹角的正弦值成正比
- 与该点到导线元中心距离的平方成反比
> dB α I
>
> dB α dl
>
> dB α sinΘ
>
> dB α 1 / r2
>
> ∴ dB α IdlsinΘ / r2
>
> ∴ dB = KIdlsinΘ / r2 (K 为常数)
推导过程 (Derivation)
让我们考虑一个任意形状的导体，其承载电流 (I)，并取一个微小的长度元 —— 根据下图所示，假设电流方向垂直向上。
设点 为距离电流元距离为 的任意一点， 为点 相对于电流元的位置矢量， 为电流方向上 与 之间的夹角。
!image毕奥-萨伐尔定律示意图
根据毕奥-萨伐尔定律，点 处的磁感应强度表示为：
> dB = KIdlsinΘ / r2 ⇢ (1)
这里，K 是一个常数，其数值取决于所使用的单位制以及导体所处的介质。
在国际单位制 (SI) 中，真空或空气中的常数 K 写作 [μo / 4π]，其中 μ0 被称为真空磁导率或自由空间磁导率。
将 K 代入公式 (1)，我们得到：
> dB = μ0 / 4π [IdlsinΘ / r2] ⇢ (2)
>
> μ0 的 SI 单位是 Wb / Am。其值为 4π X 10-7 Wb / Am
>
> (μ0 / 4π = 10-7 Wb / Am)
磁感应强度的方向垂直于图示平面并指向平面内部。（根据右手螺旋定则。）
以矢量形式表示：
> \vec {dB} = \frac{\mu_0}{4\pi} . (\frac {I \vec {dl}\times \vec r}{r^3})
其中，[r] 是从电流元中心指向该点的矢量，[dl] 是电流方向上的元长度。要计算整根导体在点 P 产生的总磁感应强度，我们需要对所有元 [dl] 的贡献进行求和，表达式为：
\vec B =\sum \vec {dB} = \frac{\mu0}{4\pi}\sum I{dl\rightarrow 0} \frac {\vec {dl}\times \vec r}{r^3}
\vec B = \frac{\mu0}{4\pi}\sum I{dl\rightarrow 0} \frac {d\vec l\times \vec r}{r^3}
将求和符号替换为积分符号 ∫：
> \vec B = \int \vec{dB} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int (\frac{I\vec{dl \times \vec r}}{r^3})
现在，我们来计算一根无限长直导线（载有电流 I）在距离导线为 ‘a‘ 的点处产生的磁感应强度大小，公式如下：
> B = \frac{\mu_0I}{2\pi a}
毕奥-萨伐尔定律的应用
以下是毕奥-萨伐尔定律的一些重要应用：
- 我们可以利用该定律计算原子或分子层面的磁性响应。
- 在空气动力学理论中，它可以用来计算涡旋线诱导的速度。
- 该定律还可用于计算电流元产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律的重要性
以下是该定律的一些重要性体现：
- 在静电学中，毕奥-萨伐尔定律与库仑定律相类似。
- 该定律同样适用于承载电流的极微小导体。
概念性问题
问题 1：陈述毕奥-萨伐尔定律并以矢量形式写出。
答案：
> 定律陈述：载流导体的一小段元在某点产生的磁感应强度的大小，与电流成正比，与元的长度成正比，与元和连接元中心到该点的直线之间的夹角的正弦值成正比，且与该点到元中心距离的平方成反比。
>
> 毕奥-萨伐尔定律的矢量形式为： \vec {dB} = \frac{\mu_0}{4\pi} . (\frac {I \vec {dl}\times \vec r}{r^3})
问题 2：陈述毕奥-萨伐尔定律的任意两个应用。
答案：
> 毕奥-萨伐尔定律的应用包括：
> – 我们可以使用毕奥-萨伐尔定律来计算原子或分子层面的磁性响应。
> – 它可以应用于空气动力学理论中，用于计算涡旋线诱导的速度。
例题精解
问题 1：电流 5A 沿南北方向放置的导线从南向北流动。试求距离该导线段 2m 东北方向的一点处，由 1cm 长的导线段产生的磁场。
解答：
> 已知数据：I = 5A
>
> r = 2m