深度解析 Fleury 算法：从经典图论到 2026 年 AI 辅助工程实践

在 2026 年的技术版图中，虽然生成式 AI 和 Agentic AI（代理式 AI）占据了绝大多数头条，但作为工程师，我们深知，底层逻辑的优化依然是支撑上层智能的基石。今天，我们将深入探讨图论中一个既古老又极具启发性的问题：如何使用 Fleury 算法 来打印欧拉路径或回路。

在这篇文章中，我们不仅会回顾算法的数学逻辑，更会结合现代软件工程的最佳实践，展示如何编写具备“生产级”素质的代码。你将会看到，即使是在几十年前诞生的算法，在 2026 年的 AI 辅助开发环境下，依然能焕发出新的生命力。

核心概念回顾：什么是欧拉路径与回路？

在正式开始编码之前，让我们快速统一一下术语。给定一个包含 V 个顶点和 E 条边的无向连通图，我们关注的是“边”的遍历：

• 欧拉回路：这是一个完美的闭环。我们从一点出发，经过图中每一条边恰好一次，最后能够回到起点。在这种情况下，图中所有顶点的度数都必须是偶数。
• 欧拉路径：稍微放松一点约束。我们访问每一条边恰好一次，但起点和终点不重合。在这种情况下，图中必须有且仅有 2 个顶点的度数是奇数（这就是路径的“一头一尾”）。

Fleury 算法的核心思想：过河拆桥的艺术

Fleury 算法的核心逻辑非常直观，甚至可以总结为一句话：“贪婪地走，但不要把路走断。”

在处理这类图遍历问题时，你可能会遇到各种各样的陷阱。Fleury 算法的智慧在于它在每一步都极其谨慎地选择下一条边。其工作流程如下：

• 判断起点：检查顶点的度数。

* 如果有 0 个 奇数度顶点（欧拉回路），可以从任意顶点开始，通常选 0。

* 如果有 2 个 奇数度顶点（欧拉路径），必须从其中之一开始。

• 贪婪遍历与桥接检测：这是算法的灵魂。在每一步，我们都会面临一个选择：走哪条边？

* 我们总是优先选择非桥接边。

* 什么是桥？ 桥是指一旦我们移除这条边，图的剩余部分就会被分割成两个或更多不连通的区域。如果我们走了一座桥，而桥的另一侧还有未遍历的边，我们就永远回不去了。

* 如果当前顶点只有一条边可选，或者是所有剩余边都是桥，那我们就不得不走这座桥。

• 递归或迭代：不断重复上述过程，直到所有边都被使用完毕。

示例解析：让我们思考一下这个场景

为了更好地理解，让我们看一个具体的图结构（假设节点为 0, 1, 2, 3）：

• 场景：假设图的结构是 0-1-2-3，并且 2 连回 0（形成一个三角形带一条尾巴）。
• 决策：假设我们从顶点 ‘2‘ 开始。当前有三条边：2-0, 2-1, 2-3。
• 如果我们贸然走了 2-3（假设 3 是个死胡同节点），那么 2-3 就是桥。一旦移除，节点 3 就孤立了。虽然这没问题，但如果 3 后面还有路，我们就回不去了。
• 我们的策略：先检查。发现 2-1 和 2-0 都不是桥，好，先走 2-1。移除边 2-1，移动到节点 1。继续这个过程，直到图中没有边剩下。

2026 工程化视角：生产级代码实现

在现代开发环境中，我们不仅要写出能运行的代码，还要写出可维护、可测试的代码。下面是一个经过优化的 C++ 实现。为了适应 2026 年的高标准，我们使用了现代 C++ 的风格，并融入了清晰的错误处理思想。

你可以尝试将这段代码复制到 Cursor 或 Windsurf 等现代 AI IDE 中，并提示 AI：“帮我为这段代码生成基于 Google Test 的单元测试，覆盖边界情况”，你会惊讶于 AI 的效率。

// C++ 实现：Fleury 算法打印欧拉路径/回路
// 2026 Edition: 强调鲁棒性和可读性

#include 
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#include 
#include 

using namespace std;

class Graph {
    int V; // 顶点数
    list* adj; // 邻接表

    // 深度优先搜索（DFS），用于计算连通分量
    void DFS(int v, bool visited[]);

    // 判断边 u-v 是否为桥接
    // 核心逻辑：试探性移除，如果导致图不连通，则是桥
    bool isValidNextEdge(int u, int v);

public:
    Graph(int V);
    ~Graph();
    
    void addEdge(int u, int v);
    void removeEdge(int u, int v);
    
    // 主函数：打印欧拉路径
    void printEulerTour();
    
    // 辅助递归函数
    void printEulerUtil(int u);
};

Graph::Graph(int V) {
    this->V = V;
    adj = new list[V];
}

Graph::~Graph() {
    delete[] adj;
}

// 添加无向边
void Graph::addEdge(int u, int v) {
    adj[u].push_back(v);
    adj[v].push_back(u);
}

// 移除无向边：需要注意双向移除的准确性
void Graph::removeEdge(int u, int v) {
    // 查找并删除 u -> v
    list::iterator iv = find(adj[u].begin(), adj[u].end(), v);
    if (iv != adj[u].end()) 
        adj[u].erase(iv);
    
    // 查找并删除 v -> u
    list::iterator iu = find(adj[v].begin(), adj[v].end(), u);
    if (iu != adj[v].end()) 
        adj[v].erase(iu);
}

// 辅助函数：DFS 遍历计数
void Graph::DFS(int v, bool visited[]) {
    visited[v] = true;
    for (auto i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i) {
        if (!visited[*i]) {
            DFS(*i, visited);
        }
    }
}

// 核心判断逻辑：u-v 是否可以走？
bool Graph::isValidNextEdge(int u, int v) {
    // 情况 1：如果 v 是 u 唯一的邻接点，别无选择，必须走
    int count = 0; // 度数计数
    for (auto i = adj[u].begin(); i != adj[u].end(); ++i) {
        if (*i != -1) count++;
    }
    if (count == 1) return true;

    // 情况 2：如果有多个选择，判断 u-v 是否是桥
    // 原理：比较移除边前后的连通分量数量
    
    // 1. 计算不移除时的连通节点数
    bool visited[V];
    memset(visited, false, V);
    int count1 = 0;
    DFS(u, visited);
    for (int i = 0; i < V; i++) 
        if (visited[i]) count1++;

    // 2. 临时移除 u-v
    removeEdge(u, v);
    
    // 3. 计算移除后的连通节点数
    memset(visited, false, V);
    int count2 = 0;
    DFS(u, visited);
    for (int i = 0; i  count1，说明移除后 u 访问不到某些节点了（即 v 是桥）
    // 如果是桥，Fleury 策略是尽量不走，除非没得选。
    // 返回 true 表示非桥（可以走），false 表示桥（尽量别走）
    return (count2 > count1) ? false : true;
}

// 打印欧拉回路/路径的核心工具函数
void Graph::printEulerUtil(int u) {
    // 遍历所有邻接点
    // 注意：这里使用递归，对于超大规模图，2026年的编译器通常会优化尾递归，
    // 或者我们可以显式改写为迭代栈以防止溢出。
    for (auto i = adj[u].begin(); i != adj[u].end(); ++i) {
        int v = *i;

        // 如果这条边还存在且符合 isValid 策略
        if (v != -1 && isValidNextEdge(u, v)) {
            cout << u << "-" << v << " ";
            
            // 移除这条边，保证欧拉路径的“不重复边”约束
            removeEdge(u, v);
            
            // 递归进入下一个节点
            printEulerUtil(v);
        }
    }
}

// 主入口函数
void Graph::printEulerTour() {
    // 1. 寻找起点：找奇数度顶点
    int u = 0;
    
    // 检查是否存在非连通部分或欧拉路径不存在的条件（此处省略详细检查，假设输入合法）
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        int degree = 0;
        for (auto j = adj[i].begin(); j != adj[i].end(); ++j) 
            degree++;
            
        if (degree % 2 != 0) {
            u = i; // 找到一个奇数度点作为起点
            break;
        }
    }
    
    // 打印路径
    cout << "欧拉路径输出: ";
    printEulerUtil(u);
    cout << endl;
}

int main() {
    // 示例 1：简单的路径
    // 0-1, 1-2, 2-0, 2-3
    // 输出预期: 2-0 0-1 1-2 2-3 (或其他变体)
    Graph g1(4);
    g1.addEdge(0, 1);
    g1.addEdge(0, 2);
    g1.addEdge(1, 2);
    g1.addEdge(2, 3);
    g1.printEulerTour();

    return 0;
}

AI 辅助调试与常见陷阱

在实现这个算法时，你可能会遇到以下几个坑。在 2026 年，我们推荐使用 AI 辅助来快速定位这些问题：

• 双向移除的逻辑错误：在邻接表中删除边时，新手最容易犯的错误就是只删了 INLINECODE34bd965b 而忘了 INLINECODEe7de4871。这会导致 DFS 计数出错，算法误判桥接。调试技巧：在 Cursor 中，选中 removeEdge 函数，使用 AI 命令 "Check for symmetry issues in this removal logic"，AI 通常能一眼指出这个不对称问题。

• 递归深度：对于拥有数千个节点的稠密图，C++ 的默认栈空间可能会耗尽。生产级解决方案：我们建议将 INLINECODEc39ec431 改写为使用 INLINECODE9b3d3877 的迭代版本。虽然代码稍显冗长，但在处理未知输入时更加安全。

• “幽灵”边：如果图的表示不够严谨，可能会存在指向已删除节点的“幽灵引用。确保 DFS 函数在遍历时严格检查边的有效性。

真实场景分析与替代方案

我们在最近的一个智慧城市项目中，涉及到环卫车辆路径规划问题，这实际上就是经典的“中国邮递员问题”的变种。虽然 Fleury 算法在教学中非常完美，但在真实的生产环境中，我们必须正视它的局限性：

• 时间复杂度瓶颈：正如你在代码中看到的，isValidNextEdge 函数在每一步都要运行 DFS 来判断连通性。在极端情况下，算法的时间复杂度会达到 O((V+E)^2)。对于实时响应的系统（如外卖骑手调度），这在 2026 年依然是不可接受的延迟。

• Hierholzer 算法的优势：在现代工业实践中，我们通常更倾向于使用 Hierholzer 算法来寻找欧拉回路。Hierholzer 算法的时间复杂度是线性的 O(V+E)，且逻辑非常适合并行化处理。它的核心思想是“环的拼接”：先在局部遍历小环，遇到死胡同再回溯拼接，这比 Fleury 的“小心翼翼”要高效得多。

那么，Fleury 还值得学吗？

绝对值得。虽然 Hierholzer 更快，但 Fleury 的决策过程（判断桥、回溯）更符合人类的直觉。在可视化教学工具、图结构分析以及理解网络脆弱性（哪里是网络的“桥”）等方面，Fleury 算法提供了不可替代的洞察力。

总结与展望：从算法到工程

Fleury 算法不仅是打印路径的工具，更是理解图论结构（特别是连通性和桥）的绝佳窗口。随着 2026 年 Agentic AI 的发展，未来的程序员可能不需要手写这些算法，但理解“为什么要避开桥”、“什么是连通分量”对于设计鲁棒的分布式系统（如微服务中的服务网格、数据中心的网络拓扑）依然至关重要。

我们鼓励你动手实现这段代码。当你看到终端输出那条完美的路径时，你不仅解决了一个数学问题，更是在与计算机科学的经典历史进行对话。希望这篇文章不仅帮你掌握了算法，还向你展示了如何像一个现代工程师一样思考——既要理解原理，又要懂得权衡，更要善用工具。