如果你是一个既热爱数学又沉迷于编程的开发者，那么 Project Euler 对你来说一定不会陌生。这是一个充满挑战的数学与计算机编程难题集合，每一道题目都不仅仅是数学公式的堆砌，更是对我们算法设计能力和逻辑思维的极致考验。
在这篇文章中，我们将不仅仅是为了得到一个答案，而是要深入探索如何将复杂的数学问题转化为优雅的代码实现。我们将重点攻克 Project Euler 第 116 题：红色、绿色或蓝色方块。这是一个关于“平铺”问题的经典变种，通过这道题，你将学会如何使用 动态规划（Dynamic Programming） 来高效地解决组合计数问题。如果你之前从未接触过这类问题，别担心，让我们像探索者一样，一步步拆解其中的奥秘。
问题背景与挑战
让我们先直观地理解一下题目在说什么。想象我们有一排长度为 50 个单位的黑色方块瓷砖。题目给出了三种不同颜色的彩色方块，它们的长度各不相同：
- 红色方块：长度为 2 个单位
- 绿色方块：长度为 3 个单位
- 蓝色方块：长度为 4 个单位
我们的任务是用这些彩色方块去替换原有的黑色方块。这里有一个关键的限制：我们至少要使用一个彩色方块。除此之外，剩下的区域仍然由黑色方块填充（我们可以把黑色方块看作是长度为 1 的“填充物”）。我们需要计算出，当仅使用一种颜色的彩色方块时，分别有多少种填充方式，最后将这三种情况的方案数相加。
为什么这道题很难？
初看之下，你可能会想到“排列组合”，试图用阶乘或者公式直接计算。但很快你会发现情况非常复杂：彩色方块和黑色方块混排，而且彩色方块的长度不一，这导致了简单的组合公式无法涵盖所有情况。这就需要我们引入一种更强大的思想——状态转移。
核心算法：动态规划详解
为了解决这个问题，我们将采用 自底向上 的动态规划方法。它的核心思想是将大问题分解为小问题，并存储小问题的解以避免重复计算。
1. 定义状态
假设我们正在填充长度为 n 的行。
- 让我们定义 INLINECODE6e9bbfbd 为填充 INLINECODE04e3a46b 个单位长度行的所有可能方式的总数。
- 对于某个特定的彩色方块，其长度为 INLINECODE6e63ae35（例如红色方块 INLINECODE27baf0a9）。
2. 状态转移方程
当我们填充第 n 个位置时，我们面临两种选择，这正是动态规划的精髓所在：
- 放置黑色方块：如果我们决定在第 INLINECODE6898da59 个位置放一个黑色方块（长度为 1），那么问题就转化为了“填充前 INLINECODE804806c3 个单位有多少种方式”。即
f(n-1)。 - 放置彩色方块：如果我们决定在第 INLINECODE382be3ee 个位置的末尾放一个长度为 INLINECODEe2f2ae76 的彩色方块，那么在它之前的空间就是 INLINECODEaccaf540。问题转化为“填充前 INLINECODE28fc2f13 个单位有多少种方式”。即
f(n-m)。
因此，我们可以得到递推关系式：
f(n) = f(n-1) + f(n-m)
3. 边界条件与修正
- 初始状态：当填充长度 INLINECODEba071a12 小于彩色方块长度 INLINECODEbbaa8cb6 时，我们只能放黑色方块，所以只有 1 种方式。
- 减 1 的技巧：题目要求至少包含一个彩色方块。然而，我们的标准递推公式 INLINECODE08be9747 实际上包含了“全由黑色方块填充”这一种情况（即初始状态一直累加的情况）。所以，最终答案必须是 INLINECODEe62d70a2，减去那唯一的“全黑”情况。
代码实现与深度解析
现在，让我们将上述逻辑转化为 Python 代码。为了让你更好地理解，我们将代码拆解为核心函数和主程序逻辑。
示例 1：核心递推逻辑
这是解决该问题的核心函数。它接受两个参数：INLINECODEcf02193d 代表彩色方块的长度（即上面的 INLINECODE401a0aa3），k 代表总长度（即 50）。
def E_116(i, k):
"""
计算使用长度为 i 的方块填充长度为 k 的行的方式数（减去全黑情况）
参数:
i (int): 彩色方块的长度 (例如 2, 3, 4)
k (int): 总行长度 (例如 50)
返回:
int: 符合条件的填充方式总数
"""
# 初始化动态规划数组
# 列表的前 i 个元素初始化为 1，代表当长度小于 i 时，只能全填黑色方块
# 后续元素初始化为 0，准备进行累加计算
# 注意：列表长度设为 k-i+1 是为了简化索引映射，或者我们可以理解为扩展了边界
ways = [1] * i + [0] * (k - i + 1)
# 从 i 开始迭代，直到 k
# range(i, k+1) 包含 k
for j in range(i, k + 1):
# 状态转移方程：
# ways[j] 初始值为 0，加上 ways[j - 1] (在末尾加一个黑块)
# 再加上 ways[j - i] (在末尾加一个长度为 i 的彩色块)
ways[j] += ways[j - 1] + ways[j - i]
# 返回 ways[k]，并减去 1（排除完全没有使用彩色方块的那一种情况）
return ways[k] - 1
#### 代码深度解析：列表 ways 的演变
让我们通过一个微观的例子来理解这个循环。假设 INLINECODEbec9ca5a（绿色方块），INLINECODEf5f739f6。初始时 ways = [1, 1, 1, 0, 0, 0]。
- j = 3:
* ways[3] += ways[2] + ways[0]
* ways[3] = 0 + 1 + 1 = 2
* 解释：填充长度 3 有 2 种方式（全黑；或者一个绿色）。
- j = 4:
* ways[4] += ways[3] + ways[1]
* ways[4] = 0 + 2 + 1 = 3
* 解释：填充长度 4 有 3 种方式（基于长度3的2种+黑；基于长度1的1种+绿）。
- j = 5:
* ways[5] += ways[4] + ways[2]
* ways[5] = 0 + 3 + 1 = 4
* 解释：填充长度 5 有 4 种基础方式。
* 最终返回 4 - 1 = 3。这 3 种方式分别是：(绿,黑,黑), (黑,绿,黑), (黑,黑,绿)。全黑的情况被减去了。
示例 2：完整的解决方案脚本
有了核心函数，我们可以编写主程序来分别计算红色、绿色和蓝色方块的情况，并汇总结果。
def solve_project_euler_116():
# 定义题目中的总长度
k = 50
# 定义需要计算的彩色方块长度
# 红色=2, 绿色=3, 蓝色=4
block_lengths = [2, 3, 4]
total_ways = 0
print(f"开始计算 Project Euler 116 - 黑色方块长度: {k}")
print("-" * 30)
for length in block_lengths:
# 调用我们的核心函数
ways = E_116(length, k)
# 确定颜色名称以便于阅读
color_name = ""
if length == 2: color_name = "红色"
elif length == 3: color_name = "绿色"
elif length == 4: color_name = "蓝色"
print(f"长度为 {length} ({color_name}) 的方块填充方式: {ways}")
# 累加到总数中
total_ways += ways
print("-" * 30)
print(f"所有颜色方块的总填充方式数为: {total_ways}")
return total_ways
# 执行求解函数
if __name__ == "__main__":
solve_project_euler_116()
示例 3：增加可视化输出（调试友好版）
在开发过程中，有时候我们需要看到每一步的计算过程来验证逻辑。下面的示例展示了如何打印中间步骤。
def E_116_verbose(i, k):
print(f"
--- 正在计算方块长度 i={i}, 总长度 k={k} ---")
ways = [1] * i + [0] * (k - i + 1)
print(f"初始状态: {ways}")
for j in range(i, k + 1):
prev_val = ways[j]
# 更新前打印
ways[j] += ways[j - 1] + ways[j - i]
print(f"Step j={j}: ways[{j}] ({prev_val}) += ways[{j}-1] ({ways[j-1]}) + ways[{j}-{i}] ({ways[j-i]}) => {ways[j]}")
result = ways[k] - 1
print(f"最终结果 ways[{k}] - 1 = {result}")
return result
性能优化与最佳实践
在处理 Project Euler 问题时，随着 k 值的增加，计算量会呈指数级增长。以下是我们在编写此类算法时必须考虑的优化策略：
1. 内存优化：仅保留必要状态
你可能注意到了，在上面的代码中，我们使用了一个长度为 INLINECODEcf6df03a 的列表 INLINECODE893fc1e5。实际上，在计算 INLINECODE9be83e2c 时，我们只需要 INLINECODE7384f4eb 和 INLINECODE0e8cba29。这意味着我们不需要存储整个数组，只需要维护一个大小为 INLINECODE99b33861 的滑动窗口或循环缓冲区即可。
对于 INLINECODEda7892cf，这看起来微不足道，但如果 INLINECODE29c0d187，这种内存优化就是从“可行”到“不可行”的区别。
优化思路：
我们可以只使用两个变量来存储 INLINECODEee1c50cb 和一个列表来存储过去 INLINECODEde376a96 步的值。不过考虑到题目中 INLINECODE0a003eb9 最大仅为 4，空间优化的边际效益在这里不高，但在其他大 INLINECODE59a817c2 的场景下非常有效。
2. 时间复杂度分析
我们当前的算法时间复杂度是 O(k)，对于每个固定的方块长度 INLINECODE29c70e8d，我们只需遍历一次到 INLINECODEd4c7776a。因为我们有三个不同的 INLINECODEe4084cd7 值（2, 3, 4），总的时间复杂度是 O(3k)，即 O(k)。这是线性时间复杂度，对于 INLINECODE3da12523 甚至是 k=10^6 来说都非常高效。
对比递归解法： 如果你尝试使用不带记忆化的纯递归函数，时间复杂度将是指数级 O(2^k)，计算 k=50 可能会花费数小时甚至永远无法完成。
3. Python 列表推导式的妙用
在初始化数组时，我们使用了 INLINECODE6268b8de。这是 Python 中非常高效且易读的列表初始化方式。利用 Python 列表的可拼接性，我们可以避免写繁琐的 INLINECODEc30f5b7a 循环来初始化数组。
潜在的陷阱与常见错误
在我们实现这个算法的过程中，有几个容易出错的地方，你可能会遇到：
错误 1：索引越界
在编写循环 INLINECODEe73c68bb 时，初学者容易写成 INLINECODE29b624c8。如果从 1 开始，当 INLINECODE5970d03c 小于 INLINECODE389bc401 时，访问 INLINECODE023239da（即 INLINECODE048f0b98 会变成负数索引或逻辑错误）会导致不正确的结果。确保起始索引 INLINECODE1448d038 至少为 INLINECODE4cc07bc6，这样 j-i 才是合法的非负索引。
错误 2：忽略“减 1”的操作
这是最容易被遗忘的细节。题目要求必须包含至少一个彩色方块。如果忘记 return ways[k] - 1，你的结果会比预期大 3（因为每种颜色都多算了一种全黑的情况）。
错误 3：整数溢出
虽然 Python 的 INLINECODE399ddb27 类型可以自动处理大整数，但在 C++ 或 Java 等语言中，INLINECODE75c29228 的结果（20492570929）已经超过了 32 位整数的范围（约 2×10^9）。如果你是在用静态语言实现，请务必使用 INLINECODE67b49a76 或 INLINECODE30ed6c3f 类型，否则结果会溢出变成负数。
总结与展望
通过解决 Project Euler 第 116 题，我们不仅仅得到了一个数字 20492570929，更重要的是，我们实践了将复杂的组合问题转化为动态规划模型的过程。
我们掌握了：
- 问题拆解：如何将一个长度为 INLINECODE8b01b56a 的大问题拆解为长度为 INLINECODEf693db4d 和
k-i的子问题。 - 状态定义：如何定义 DP 数组及其含义。
- 边界处理：处理初始条件以及题目特殊要求（如减去全黑情况）。
- 代码实现：用 Python 编写清晰、高效的算法。
Project Euler 的魅力就在于此：它强迫你跳出舒适区，去思考算法背后的逻辑。你可以尝试修改上面的代码，去解决更一般的平铺问题，比如“如果允许同时混合使用不同颜色的方块，结果会是多少？”（这其实就是 Project Euler 第 117 题，留给你去探索！）。
希望这篇文章能帮助你在算法之路上更进一步。继续挑战，保持好奇心，你会发现数学与代码结合之美。
最终代码汇总：
# 完整的解决方案代码
def E_116(i, k):
# 初始化：前 i-1 个位置只有一种填法（全黑）
# 创建足够长的列表以容纳所有中间状态
ways = [1] * i + [0] * (k - i + 1)
# 从 i 开始迭代计算
for j in range(i, k + 1):
# 递推公式：当前长度 = 放黑块 + 放彩块
ways[j] += ways[j - 1] + ways[j - i]
# 减去全部是黑块的那一种情况
return ways[k] - 1
# 设定题目参数
k = 50
# 分别计算并累加
result = (E_116(2, k) + # 红色方块
E_116(3, k) + # 绿色方块
E_116(4, k)) # 蓝色方块
print(f"当长度为 {k} 时的总填充方式数为: {result}")
感谢阅读！祝你在下一次编程挑战中玩得开心。