深入数字逻辑：如何仅使用 NOR 门构建 OR 门（实现指南）

2026-02-09 19:30:38 0条评论 5次阅读 0人点赞

作为一名数字电路设计者，你是否思考过这样一个问题：在纷繁复杂的逻辑芯片中，如果我们手头只有一种被称为“通用门”的组件，能否构建出所有需要的逻辑功能？

在数字电子技术的世界中，这不仅仅是一个假设，而是一种被称为“逻辑完备性”的强大特性。今天，我们将深入探讨这一核心概念中的经典案例：如何仅使用 NOR（或非）门来实现 OR（或）门的功能。

这篇文章不仅会带你重温基础，更会通过实际的分析、代码模拟和电路构建，向你展示底层逻辑是如何运作的。无论你是正在准备考试的学生，还是希望优化芯片面积的硬件工程师，理解这种“门级转换”都是必备的技能。

1 核心概念回顾：OR 门与 NOR 门
2 为什么我们要用 NOR 门来实现 OR 门？
3 理论分析：实现原理
4 代码实现与验证
5 真值表对比验证
6 常见误区与最佳实践
7 多输入 OR 门的实现
8 总结与进阶思考

核心概念回顾：OR 门与 NOR 门

在开始动手实现之前，让我们先快速确认一下这两位“主角”的身份和行为。这是构建复杂大厦前的地基。

什么是 OR 门（或门）？

OR 门是数字逻辑中最直观的门之一。它的逻辑就像我们在生活中的“或者”——只要满足其中一个条件，结果就成立。

在布尔代数中，它由加号（+）表示。

逻辑行为：

只要有一个输入为高电平（1/True），输出就为高电平。
只有当所有输入都为低电平（0/False）时，输出才为低电平。

2输入 OR 门方程：

$$Y = A + B$$

(视觉参考：标准的 OR 门符号，呈弯曲的 D 形，尖头指向右侧。)

什么是 NOR 门（或非门）？

NOR 门，全称为“Not OR”，本质上就是一个 OR 门后面紧跟一个 NOT 门（反相器）。它是 OR 门逻辑的否定。

逻辑行为：

如果任意输入为高电平，输出为低电平。
只有当所有输入都为低电平时，输出才为高电平。

2输入 NOR 门方程：

$$Y = \overline{A + B}$$

(视觉参考：标准的 OR 门符号，但在输出端有一个小圆圈，代表反相。)

为什么我们要用 NOR 门来实现 OR 门？

你可能会问：“既然已经有现成的 OR 门芯片，为什么还要多此一举用 NOR 门去搭建它？”

这是一个非常好的实战问题。在实际工程中，我们倾向于减少芯片库存的种类。NOR 门和 NAND 门被称为通用逻辑门，这意味着你可以用它们来构建任何逻辑功能（AND、OR、NOT、XOR 等）。

如果你在设计电路时，发现库存里只有 NOR 门，或者你的 ASIC 设计库为了优化面积只提供了 NOR 单元，你就必须掌握如何用 NOR 门“变”出其他逻辑。这正是我们今天要解决的问题。

理论分析：实现原理

要实现从 NOR 到 OR 的转换，我们需要运用布尔代数中的双重否定律。

让我们看看数学是如何推导的：

目标： 我们想要得到输出 $A + B$ (OR 门)。
现状： 我们有 NOR 门，其输出为 $\overline{A + B}$。
桥梁： 我们知道 $\overline{\overline{X}} = X$。这意味着，如果你对一个信号取反两次，它就变回了原来的信号。
推导：

$$Output = \overline{\overline{A + B}}$$

这里，第一层 $\overline{A + B}$ 是第一个 NOR 门的输出。

为了实现 OR 门的功能，我们需要对这个结果再次取反。

关键点： 我们如何用一个 NOR 门来充当反相器（NOT 门）？

请看 NOR 门的一个特性：如果我们将两个输入端连接在一起（A = B），输出就变成了 $\overline{A + A} = \overline{A}$。这就是 NOT 门！

结论： 我们需要两个 NOR 门。

第一个 NOR 门用于处理输入信号，产生中间结果（这里实际上是作为 OR + NOT 的第一步，但在纯 NOR 实现中，为了最简电路，其实有更简单的直接结构，见下文“直接并行法”的修正思路）。
修正：实际上，为了从 NOR 得到 OR，最简单的方法不是级联两个 2 输入 NOR 去做 Double Negation（那样太浪费），而是利用 De Morgan 定律 或者直接定义：

$A + B = \overline{\overline{A + B}}$

右边的 $\overline{A + B}$ 是一个 NOR 门。然后我们需要对整个 NOR 门的结果再取反。

如前所述，一个 NOR 门在输入短路时就是 NOT 门。

所以，电路结构是：

1. 第一个 NOR 门接收输入 A 和 B。输出 $Temp = \overline{A + B}$。

2. 第二个 NOR 门将 Temp 连接到它的两个输入端。输出 $Final = \overline{Temp + Temp} = \overline{Temp}$。

3. 结果：$\overline{\overline{A + B}} = A + B$。

这样我们就通过两个 NOR 门实现了 OR 门的功能。

代码实现与验证

作为现代开发者，我们在实际焊接电路之前，通常会用软件来验证我们的逻辑。下面我们用 Python 来模拟这个电路的行为。

示例 1：基础逻辑模拟

这个脚本模拟了我们刚刚设计的两级电路：第一级计算 NOR，第二级进行反转。

def nor_gate(a, b):
    """
    模拟 2 输入 NOR 门
    逻辑：只有两个输入都为 0 时，输出才为 1
    """
    return int(not (a or b))

def nor_used_as_not(input_val):
    """
    将 NOR 门配置为 NOT 门（反相器）
    方法：将两个输入端连接在一起
    """
    # 这等同于 nor_gate(input_val, input_val)
    return nor_gate(input_val, input_val)

def implementation_of_or_using_nor(a, b):
    """
    使用两个 NOR 门实现 OR 门
    第一级：计算 (A NOR B)
    第二级：将第一级的结果取反
    """
    # 第一步：使用第一个 NOR 门处理原始输入 A 和 B
    first_stage_output = nor_gate(a, b)
    
    # 第二步：使用第二个 NOR 门作为反相器，恢复 OR 逻辑
    # 我们需要 NOT (first_stage_output)
    final_output = nor_used_as_not(first_stage_output)
    
    return final_output

# --- 测试验证 ---
# 我们将测试真值表中的所有 4 种情况
inputs = [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)]

print(f"{‘A‘:<5} {'B':<5} {'Output (OR)':<10}")
print("-" * 25)

for a, b in inputs:
    result = implementation_of_or_using_nor(a, b)
    print(f"{a:<5} {b:<5} {result:<10}")

代码解析：

在上述代码中，你可以看到我们首先定义了一个原始的 INLINECODE213f5e61 函数。接着，我们利用“将输入短接”的技巧创建了 INLINECODE95c9c9ad。最后，在主函数中，我们将它们串联起来。当你运行这段代码时，你会发现输出结果完全符合标准 OR 门的真值表：只有当两个输入都是 0 时，输出才是 0；否则输出为 1。

真值表对比验证

为了确保万无一失，让我们从逻辑层面对比一下标准 OR 门和我们的“NOR 组合”门的真值表。

输入 A

输入 B

中间状态 (A NOR B)

最终输出 (NOT 中间状态)

标准 OR 门 (A+B) :—:

:—:

:—: 0

0 0

1 1

可以看到，“最终输出”列与“标准 OR 门”列完全一致。这证明了我们的实现方案是正确的。

常见误区与最佳实践

在处理这种底层逻辑转换时，我见过许多初学者（甚至是一些资深开发者）犯下特定的错误。让我们来看看如何避免它们。

1. 混淆反相器的连接方式

在使用 NOR 门作为 NOT 门时，最大的错误是将未使用的输入端悬空。在实际硬件电路中，悬空的输入端会像天线一样捕获噪声，导致不可预测的行为。

最佳实践：

一定要将不用的输入端连接到已使用的输入端（如我们代码中所做），或者连接到确定的逻辑电平（具体取决于你是想实现 NOR 还是 NOT 逻辑）。对于 NOR 门做 NOT 门，必须将两个引脚短接。

2. 忽略传播延迟

虽然我们的模拟代码是瞬间完成的，但在真实世界的硬件中，每一个门都会造成微小的延迟（称为 Propagation Delay）。

在我们的实现中，信号通过了两级门电路。如果原始信号变化非常快，输出端会出现短暂的脉冲。虽然对于简单的 OR 门实现来说这通常不是问题，但在高频时钟电路设计中，这种累积的延迟是必须计算在内的。

3. Verilog 实现中的陷阱

如果你正在使用 Verilog 或 VHDL 进行 FPGA 设计，你可能会想直接用原语来实现这个功能。虽然这有助于理解，但通常综合工具会自动优化你的代码。

然而，如果你必须手动实例化门电路，请确保你的赋值语法正确。下面是一个使用 Verilog 数据流建模的示例，展示了如何从结构上描述这个电路：

// Verilog 数据流建模示例
module nor_to_or_impl (
    input wire a,
    input wire b,
    output wire y
);
    // 定义中间连线
    wire nor_out;

    // 第一个 NOR 门
    nor g1 (nor_out, a, b);

    // 第二个 NOR 门作为反相器
    // 注意：nor 原语的实例化顺序通常是，其中 是输出
    nor g2 (y, nor_out, nor_out); 

    /*
     * 解释：
     * g1 计算 ~(a | b)
     * g2 接收 g1 的输出作为两个输入，计算 ~(g1_out | g1_out)
     * 最终 y = ~(~(a|b)) = a | b
     */
endmodule

多输入 OR 门的实现

现实世界中的逻辑往往不止两个输入。如果我们需要实现一个 3 输入的 OR 门 ($A+B+C$)，该如何仅使用 NOR 门实现呢？

逻辑是一样的：$Y = \overline{\overline{A + B + C}}$。

你需要：

一个 3输入 NOR 门（或者通过级联 2 输入 NOR 门构建）。它输出 $\overline{A+B+C}$。
将其结果连接到一个配置为反相器的 NOR 门上（将两个输入短接）。

这种模块化的思维方式是硬件描述语言（HDL）的核心。

总结与进阶思考

在这篇文章中，我们从理论推导到代码模拟，详细拆解了如何仅使用 NOR 门来实现 OR 门。这不仅是一个数学练习，更是理解数字电路设计“乐高积木”属性的关键一步。

关键要点回顾：

双重否定律是核心：$\overline{\overline{A}} = A$。
NOR 门可以通过短接输入端变成 NOT 门。
电路结构：输入 -> NOR 门 -> (连接到 NOT 门/NOR 反相器) -> 输出。

下一步建议：

为了进一步磨练你的技能，我建议你尝试逆向思考：如何仅使用 NOR 门实现 AND 门？提示：你需要使用 De Morgan 定律 ($A \cdot B = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$)，这意味着你需要先用 NOR 门得到 NOT A 和 NOT B，然后再处理它们。

希望这篇指南能帮助你建立更坚实的逻辑电路基础。当你下次在原理图中看到这些基础门电路时，你会知道它们背后蕴含的无限可能性。

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