在计算理论中，两个确定性有限自动机（DFA）的并集是一种基础且强大的运算，用于构造一个新的DFA，该DFA能识别原始自动机所接受语言的并集。例如，假设有两个DFA，它们分别识别语言L1和L2，那么它们的并集DFA将接受属于L1或L2的任何字符串。
虽然这听起来像是一个纯理论概念，但当我们置身于2026年的技术景观中，会发现这种古老的逻辑仍然是现代编译器设计、AI分词器以及复杂协议验证的基石。在这篇文章中，我们将深入探讨这一过程，不仅会重温经典的构造方法，还会结合我们在企业级开发中的实战经验，分享如何在现代编程范式下高效实现这一算法。
构造两个DFA的并集DFA：从原理到实现
让我们先回到基础。为了对两个确定性有限自动机（DFA）执行并集运算，理论上我们可以采取以下步骤（这通常被称为积构造法 Product Construction）：
Step 1: 创建一个新的状态集，它是两个原始DFA状态的笛卡尔积。
Step 2: 将新DFA的初始状态定义为元组 (q1, q2)，其中 q1 和 q2 分别是原始DFA的初始状态。
Step 3: 对于新DFA中的每一个状态，通过取原始DFA转移函数的并集来定义转移函数。例如，如果第一个DFA的转移函数是 δ1(q1, a) = q2，第二个DFA的转移函数是 δ2(q3, a) = q4，那么新DFA的转移函数就是 δ( (q1,q3), a ) = (q2,q4)。
Step 4: 将新DFA的终态集定义为原始DFA终态集的并集。即，只要元组中的任意一个状态是原始DFA的终态，该元组即为终态。
Step 5: 最终得到的DFA将识别由原始DFA识别的语言的并集。
从伪代码到生产级代码：我们如何实现
在2026年的今天，仅仅理解算法步骤是不够的。当我们编写生产级代码时，必须考虑可维护性、类型安全以及与AI辅助工具的协作。让我们来看一个实际的例子，我们要设计一个DFA，用于接受 {a, b} 上的字符串集合，且这些字符串必须以不同的符号开始和结束。
这将形成以下两种期望的语言：
> L1 = {ab, aab, aabab, …….} （以a开头并以b结尾）
> L2 = {ba, bba, bbaba, …….} （以b开头并以a结尾）
那么 L = L1 ∪ L2。在现代IDE（如Cursor或Windsurf）中，我们通常会先定义DFA的数据结构。让我们看看如何用Python实现一个稳健的DFA类：
from collections import defaultdict
class DFA:
def __init__(self, states, alphabet, transitions, start_state, accept_states):
"""
初始化DFA
:param states: 状态集合
:param alphabet: 字母表
:param transitions: 转移函数字典 {(state, char): next_state}
:param start_state: 初态
:param accept_states: 终态集合
"""
self.states = states
self.alphabet = alphabet
self.transitions = transitions
self.start_state = start_state
self.accept_states = accept_states
def accepts(self, input_string):
"""验证字符串是否被接受，这是我们在调试时的核心工具。"""
current_state = self.start_state
for char in input_string:
if (current_state, char) not in self.transitions:
return False # 处理未定义的转移（陷阱状态）
current_state = self.transitions[(current_state, char)]
return current_state in self.accept_states
示例：构建L1和L2
现在，让我们定义L1和L2。在我们最近的一个项目中，我们需要验证日志格式，这就是这类问题的实际映射。
语言 L1 的定义 (以a开头, 以b结尾):
# DFA for L1
# 状态: A(初), B, C(终), D(陷阱/其他)
# 假设我们处理简单的逻辑，如果不符合预期就进入Trap状态
# L1 状态定义
l1_transitions = {
(‘A‘, ‘a‘): ‘B‘, # A读到a变B
(‘B‘, ‘b‘): ‘C‘, # B读到b变C (终态)
(‘C‘, ‘a‘): ‘B‘, # C读到a变B (准备接受新的一轮)
(‘C‘, ‘b‘): ‘B‘, # C读到b变B
# 为了严谨，我们需要处理所有输入，这里简化处理，实际工程中必须补全Trap状态
(‘A‘, ‘b‘): ‘Trap‘,
(‘B‘, ‘a‘): ‘Trap‘
}
# 省略Trap状态的自我循环代码，为了代码简洁，我们在逻辑层处理或补全字典
dfa_L1 = DFA(
states={‘A‘, ‘B‘, ‘C‘, ‘Trap‘},
alphabet={‘a‘, ‘b‘},
transitions=l1_transitions,
start_state=‘A‘,
accept_states={‘C‘}
)
语言 L2 的定义 (以b开头, 以a结尾):
# DFA for L2
l2_transitions = {
(‘P‘, ‘b‘): ‘Q‘, # P读到b变Q
(‘Q‘, ‘a‘): ‘R‘, # Q读到a变R (终态)
(‘R‘, ‘b‘): ‘Q‘,
(‘R‘, ‘a‘): ‘Q‘
}
dfa_L2 = DFA(
states={‘P‘, ‘Q‘, ‘R‘, ‘Trap‘},
alphabet={‘a‘, ‘b‘},
transitions=l2_transitions,
start_state=‘P‘,
accept_states={‘R‘}
)
深度：实现并集运算
现在，让我们编写并集函数。这里我们不使用简单的教科书式伪代码，而是展示一段使用了Python生成器和类型提示的现代代码，这也是我们在使用AI辅助编程时，为了保证代码质量所坚持的风格。
def union_dfa(dfa1, dfa2):
"""
构造两个DFA的并集DFA (积构造法)
返回一个新的DFA实例
"""
new_states = set()
new_transitions = {}
new_start = (dfa1.start_state, dfa2.start_state)
new_accepts = set()
# 使用队列进行广度优先搜索，生成所有可达状态
# 这是避免“状态爆炸”导致内存溢出的关键步骤之一：只计算可达状态
from collections import deque
queue = deque([new_start])
visited = set()
while queue:
state_pair = queue.popleft()
if state_pair in visited:
continue
visited.add(state_pair)
s1, s2 = state_pair
new_states.add(state_pair)
# 确定终态：只要有一个DFA接受，并集就接受
if s1 in dfa1.accept_states or s2 in dfa2.accept_states:
new_accepts.add(state_pair)
# 计算转移
for char in dfa1.alphabet: # 假设字母表相同
# 获取下一状态，如果未定义则视为Trap
next_s1 = dfa1.transitions.get((s1, char), ‘Trap‘)
next_s2 = dfa2.transitions.get((s2, char), ‘Trap‘)
next_pair = (next_s1, next_s2)
new_transitions[(state_pair, char)] = next_pair
if next_pair not in visited:
queue.append(next_pair)
return DFA(new_states, dfa1.alphabet, new_transitions, new_start, new_accepts)
# 执行并集
dfa_union = union_dfa(dfa_L1, dfa_L2)
# 测试用例
print(dfa_union.accepts("ab")) # True (L1)
print(dfa_union.accepts("ba")) # True (L2)
print(dfa_union.accepts("aa")) # False
2026视角下的技术挑战与优化策略
在我们运行上面的代码时，你可能会注意到一个严重的问题：状态爆炸。
在积构造法中，新DFA的状态数量是两个原始DFA状态数量的乘积 ($
\times
$)。在实际工程中，比如我们正在构建一个支持多种协议（HTTP, WebSocket, gRPC）的网关路由器，如果每种协议的DFA有50个状态，合并后的状态数可能会瞬间达到2500个，这在微服务架构或边缘计算设备中是不可接受的。
现代开发中的决策：何时使用并集，何时回避
在我们的技术选型会议上，通常会遵循以下原则：
- 预编译 vs 运行时： 在2026年，得益于云原生和Serverless架构的普及，我们将复杂的DFA合并过程放在编译时或构建阶段完成。我们不会在每次请求到来时动态计算并集，而是预先计算好合并后的路由表。这极大地提高了运行时性能。
- NFA的替代方案： 对于极度复杂的日志分析或全文搜索，我们可能会放弃DFA的并集，转而使用非确定性有限自动机（NFA）或直接运行正则表达式引擎（如RE2）。现代正则引擎采用了非常激进的优化算法（如Pike VM或DFA模拟），在某些情况下，它们比手动合并巨型DFA更高效。
LLM与Agentic AI在调试中的应用
你可能会问，如果并集后的DFA行为异常，我们该如何调试？在2026年，我们不再单纯依赖人工阅读状态转移图。
- 可视化即代码: 我们使用工具自动生成状态转移图，甚至直接在IDE中通过多模态插件查看热力图。
- LLM驱动的测试生成: 我们会提示AI：“生成一组测试用例，用于区分L1和L2的语言特性，并挑战并集DFA的边界条件。” AI能快速生成包含空字符串、超长字符串和特殊字符的测试向量，帮助我们发现隐蔽的逻辑漏洞，比如对于两个DFA中“陷阱状态”处理不一致的问题。
结语：正则语言的封闭性留给我们的启示
正如我们在示例中看到的，L1和L2通过并集过程被组合在了一起。从上面的例子中，我们还可以推断出，正则语言在并集运算下是封闭的（即，两个正则语言的并集也是正则的）。
这一理论特性保证了无论我们如何组合简单的识别规则，最终得到的仍然是一个高效、线性时间复杂度 $O(n)$ 可处理的自动机。这对于我们在未来设计更复杂的AI模型解释器或验证区块链智能合约的形式化属性时，提供了最坚实的数学保证。希望这篇深入探讨不仅帮你理解了DFA的并集过程，也为你展示了如何运用现代工程思维去实现和优化它。