几何重数是线性代数中与特征向量和特征值相关的一个概念。简而言之，一个特征值的几何重数是指对应于该特征值的线性无关特征向量的数量。这个数字也是该特征值对应的特征子空间的维度。
为了进一步拆解这个概念，当矩阵 A 作用于向量空间时，它可能会沿着特定的方向拉伸或压缩向量，这些方向被称为特征向量，而其特定的缩放因子被称为特征值。对于每一个特征值，特征子空间是指那些仅被矩阵缩放，而没有被旋转或进行其他变换的所有向量的集合。几何重数告诉了我们这些独立方向的数量。
在本文中，我们将详细讨论“几何重数”的概念，包括计算它的方法。
目录
- 什么是几何重数？
- 几何重数的计算
- 几何重数 vs 代数重数
- 练习题
- 常见问题
什么是几何重数？
几何重数是线性代数中与矩阵的特征值和特征向量相关的一个概念。它指的是与给定特征值相关联的线性无关特征向量的数量。换句话说，它是对应于某个特征值的特征子空间的维度。
对于一个方阵 A 和一个特征值 λ，λ 的几何重数是以下方程的独立解的数量：
> (A − λI)x = 0
这里，
- I 是与 A 大小相同的单位矩阵，并且
- x 是对应于特征值 λ 的特征向量。
所有解 x 的集合构成了一个向量空间，称为 λ 的特征子空间。这个特征子空间的维度就是 λ 的几何重数。
几何重数的定义
设 A 为一个 n × n 的矩阵，λ 是 A 的一个特征值。λ 的几何重数记为 gm(λ)，由下式给出：
> GM(λ) = dim(Null(A – λI))
其中，
- Null(A – λI) 是矩阵 (A – λI) 的零空间
- dim() 表示向量空间的维度
- I 是 n × n 的单位矩阵
几何重数总是小于或等于代数重数（即 λ 作为 A 的特征多项式的根的重数）。
几何重数的计算
要计算特征值 λ 的几何重数：
> 第1步：求特征值：求解特征方程 det(A − λI) = 0 来找到 λ。
>
> 第2步：构造矩阵 (A − λI)：从 A 中减去 λI。
>
> 第3步：求解方程组：求解齐次方程组 (A − λI)x = 0。
>
> 第4步：确定维度：线性无关的解 x 的数量即为几何重数。
让我们通过一个例子来更好地理解：
例 1：求矩阵 A 所有特征值的几何重数： A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
解：
> 特征方程为 det(A – λ I) = 0。
>
> \begin{vmatrix}
> 4-λ & 1 & 2 \\
> 0 & 3-λ & -1 \\
> 0 & 0 & 3-λ
> \end{vmatrix} = 0
>
> 解这个方程，我们得到特征值 λ = 3（代数重数为 2）和 λ = 4。
>
> 对于 λ = 3：
>
> A – 3I = \begin{pmatrix}
> 1 & 1 & 2 \\
> 0 & 0 & -1 \\
> 0 & 0 & 0
> \end{pmatrix}
>
> 为了找到 A – 3I 的零空间，我们求解：
>
> \begin{pmatrix}
> 1 & 1 & 2 \\
> 0 & 0 & -1 \\
> 0 & 0 & 0
> \end{pmatrix}
> \begin{pmatrix}
> x_1 \\
> x_2 \\
> x_3
> \end{pmatrix}
> = \begin{pmatrix}
> 0 \\
> 0 \\
> 0
> \end{pmatrix}
>
> 该方程组简化为 x3 = 0 和 x1 + x2 = 0。因此，x1 = -x2。
>
> 零空间由 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 张成。
>
> λ = 3 的几何重数为 1。
>
> 对于 λ = 4： A – 4I = \begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 \\
> 0 & -1 & -1 \\
> 0 & 0 & -1
> \end{pmatrix}
>
> 为了找到 A – 4I 的零空间，我们求解：
>
> \begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 2 \\
> 0 & -1 & -1 \\
> 0 & 0 & -1
> \end{pmatrix}
> \begin{pmatrix}
> x_1 \\
> x_2 \\
> x_3
> \end{pmatrix}
> = \begin{pmatrix}
> 0 \\
> 0 \\
> 0
> \end{pmatrix}
>
> 该方程组简化为 x3 = 0 和 x2 = 0。
>
> 零空间由 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 张成。
>
> λ = 4 的几何重数为 1。
例 2：求矩阵 B 中所有特征值的几何重数： B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
解：
> 第1步：求矩阵的特征值。
>
> 特征方程为 det(B – λ I) = 0。
>
> \begin{vmatrix}
> 2 – λ & 1 & 0 \\
> 0 & 2 – λ & 0 \\
> 0 & 0 & 3 – λ
> \end{vmatrix} = 0
>
> ⇒ (2 – λ)2 (3 – λ) = 0
>
> 因此，特征值为 λ = 2（代数重数为 2）和 λ = 3。
>
> 第2步：求每个特征值的几何重数
>
> 对于 λ = 2：计算 B – 2I。
>
> B – 2I = \begin{pmatrix}
> 2-2 & 1 & 0 \\
> 0 & 2-2 & 0 \\
> 0 & 0 & 3-2
> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 0 \\
> 0 & 0 & 0 \\
> 0 &