在我们构建复杂的现代软件系统时，往往会忽视最基础的逻辑构建块。正如我们在 2026 年的开发环境中所见，无论是编写高效的算法，还是调试 LLM（大型语言模型）生成的代码，扎实的数学逻辑依然是基石。在这篇文章中，我们将深入探讨 运算顺序，不仅复习经典的 PEMDAS/BODMAS 规则，还会结合现代开发场景，展示这些基础原则如何在我们的代码中通过“表达式解析”和“AST（抽象语法树）”来体现。
什么是 PEMDAS 或 BODMAS？
PEMDAS 和 BODMAS 是用于记忆数学运算顺序的缩写。BODMAS 与之类似，通常在英国和其他一些国家使用。
!运算顺序 – 定义、步骤、示例、常见问题.png)
在编程领域，这被称为“运算符优先级”。当我们使用 Python、JavaScript 或 Rust 编写表达式时，编译器内部严格遵循这一规则。你可以把它想象成编译器解析代码时的“交通规则”。如果我们在写代码时忽略了这一点，或者在生成式 AI 辅助编程时没有理清逻辑，就会产生微妙的逻辑错误。
2026 开发者视角的解读
在现代 IDE（如 Cursor 或 Windsurf）中，AI 代理经常帮我们重构复杂的数学表达式。理解 BODMAS 能让我们更高效地进行 Code Review（代码审查）。例如，当我们看到一个复杂的条件判断 INLINECODEd8422f5a 时，我们必须本能地知道乘法会先于加法执行。这种直觉不仅适用于数学，也适用于逻辑运算（如 INLINECODEa17806a7 和 || 的优先级），这是编写健壮系统的关键。
核心演练：分步解析与逻辑验证
让我们通过一系列练习题来巩固这一概念。我们不仅要算出答案，还要像计算机解析器那样思考每一步的操作。
1: 求解 7 + 24 ÷ 8 × 4 + 6
> 解析思路： 这是一个典型的混合运算题。在 PEMDAS 中，乘除法属于同一优先级，必须从左到右依次计算。这在编程中尤为重要，因为除法和乘法的顺序直接决定了整数除法的结果。
>
> 步骤演示：
> 1. 除法优先：我们首先处理 24 ÷ 8。
> = 7 + 3 × 4 + 6
> 2. 从左到右乘法：接着处理 3 × 4。
> = 7 + 12 + 6
> 3. 最后加法：执行剩余的加法。
> = 25
>
> 最终答案： 25
2: 计算 5 + 2 × 3²
> 解析思路： 这里引入了指数（阶）。在大多数编程语言中，指数运算符（如 Python 的 **）的优先级高于乘法。
>
> 步骤演示：
> 1. 指数运算：先计算 3²。
> 3² = 9
> 表达式变为：5 + 2 × 9
> 2. 乘法运算：然后计算 2 × 9。
> = 18
> 3. 加法运算：最后 5 + 18。
> = 23
>
> 最终答案： 23
3: 化简 15 − (6 + 3) × 4
> 解析思路： 括号是优先级最高的。这就好比我们在代码中用 (a + b) * c 来强制改变计算顺序。
>
> 步骤演示：
> 1. 括号内优先：计算 6 + 3。
> = 9
> 2. 乘法运算：接着是 9 × 4。
> = 36
> 3. 减法运算：最后 15 − 36。
> = −21
>
> 最终答案： −21
4: 计算：12 − 3 × (4 − 1)
> 解析思路： 同样，括号决定了我们必须先做减法，再做乘法，最后做外面的减法。
>
> 步骤演示：
> 1. 括号内：4 − 1 = 3。
> 2. 乘法：3 × 3 = 9。
> 3. 减法：12 − 9 = 3。
>
> 最终答案： 3
5: 求解：(10 − 3) × (2² + 1)
> 解析思路： 这个题目展示了多个括号和指数的并存。在 2026 年的多模态 AI 辅助编程中，这种嵌套结构经常出现在数据处理的管道中。
>
> 步骤演示：
> 1. 左括号：10 − 3 = 7。
> 2. 右括号内的指数：INLINECODEaf405415，然后 INLINECODE046c2c47。
> 3. 括号间相乘：7 × 5。
>
> 最终答案： 35
6: 化简：20 ÷ (5 − 2) × 2
> 解析思路： 注意这里除数是一个括号表达式。
>
> 步骤演示：
> 1. 括号内：5 − 2 = 3。
> 2. 除法：20 ÷ 3。这里我们保留分数形式以获得精确值，这在金融计算或高精度算法中至关重要，避免过早的四舍五入导致误差累积。
> = 20/3
> 3. 乘法：20/3 × 2。
> = 40/3
>
> 最终答案： 40/3 (约等于 13.33)
7: 计算：(8 ÷ 2) × (3 + 2)²
> 解析思路： 这是一个组合拳。注意指数是作用于括号 (3 + 2) 的整体结果。
>
> 步骤演示：
> 1. 左括号：8 ÷ 2 = 4。
> 2. 右括号：3 + 2 = 5。
> 3. 指数：5² = 25。
> 4. 乘法：4 × 25。
>
> 最终答案： 100
8: 求解：5 + 2 × (4 − 1)²
> 解析思路： 先算括号，再算指数，再乘法，最后加法。完全符合 PEMDAS 流程。
>
> 步骤演示：
> 1. 括号内：4 − 1 = 3。
> 2. 指数：3² = 9。
> 3. 乘法：2 × 9 = 18。
> 4. 加法：5 + 18 = 23。
>
> 最终答案： 23
9: 化简：16 ÷ (4 − 1) + 2
> 解析思路： 这里考察的是除法和加法的混合，注意除法只在括号后优先，加法是最后一步。
>
> 步骤演示：
> 1. 括号内：4 − 1 = 3。
> 2. 除法：16 ÷ 3 = 16/3。
> 3. 加法：INLINECODE8c863717。通分：INLINECODE526cd512。
>
> 最终答案： 22/3
10: 计算：3 + 4 × (6 − 3)²
> 解析思路： 这是一个非常标准的进阶练习题。
>
> 步骤演示：
> 1. 括号内：6 − 3 = 3。
> 2. 指数：3² = 9。
> 3. 乘法：4 × 9 = 36。
> 4. 加法：3 + 36 = 39。
>
> 最终答案： 39
深入实践：编程中的运算顺序与 AST 解析
在 2026 年，作为一个追求卓越的开发者，仅仅会手动计算是不够的。我们需要理解计算机是如何“看”这些表达式的。抽象语法树（AST） 是现代编译器和解释器的核心，而运算顺序直接决定了 AST 的结构。
1. 表达式解析的实战代码
让我们使用 Python 来模拟一个简单的表达式解析过程。这不仅仅是一个数学练习，这是构建现代计算器和公式引擎的基础。
import re
class ExpressionSolver:
"""
一个简单的表达式解析器，演示如何通过递归处理运算顺序。
这在开发配置文件解析器或规则引擎时非常有用。
"""
def evaluate(self, expression: str) -> float:
"""
主入口：处理加减法（最低优先级），并递归调用乘除法处理。
我们使用正则表达式来分割 tokens，这在处理不规范的输入时比单纯的 split() 更健壮。
"""
# 递归基：如果没有加减法，就去处理乘除法
tokens = re.split(r‘([+-])‘, expression.replace(" ", ""))
# 处理第一部分（可能是数字或乘除法表达式）
value = self._process_mul_div(tokens[0])
# 依次处理后面的加减法
for i in range(1, len(tokens), 2):
operator = tokens[i]
next_val = self._process_mul_div(tokens[i+1])
if operator == ‘+‘:
value += next_val
elif operator == ‘-‘:
value -= next_val
return value
def _process_mul_div(self, expression: str) -> float:
"""
处理乘除法和括号/指数（较高优先级）。
这里展示了从左到右结合性的实现。
"""
# 先检查是否有括号，括号是最高优先级，需要递归解决
if ‘(‘ in expression:
# 这里简化处理，寻找匹配的括号（生产环境应使用栈结构）
start = expression.index(‘(‘)
end = expression.rindex(‘)‘)
inner_val = self.evaluate(expression[start+1:end]) # 递归调用 evaluate 处理括号内
# 替换括号内容为计算结果
remaining_expr = expression[:start] + str(inner_val) + expression[end+1:]
return self._process_mul_div(remaining_expr)
# 分割乘除法
tokens = re.split(r‘([*/])‘, expression)
value = float(tokens[0])
for i in range(1, len(tokens), 2):
operator = tokens[i]
next_val = float(tokens[i+1])
if operator == ‘*‘:
value *= next_val
elif operator == ‘/‘:
value /= next_val
return value
# 2026年最佳实践：使用 Type Hints 和 Docstrings 提高代码可读性
solver = ExpressionSolver()
print(f"示例 1 (7 + 24 / 8 * 4 + 6): {solver.evaluate(‘7 + 24 / 8 * 4 + 6‘)}")
# 预期输出: 25.0
2. 代码中的陷阱与优化
在上述代码中，我们手动实现了运算优先级。你可能会问，为什么不直接用 Python 内置的 eval()？
- 安全性（Security Shift Left）：在生产环境中，直接
eval()用户输入是极度危险的，它可能导致任意代码执行（RCE）。我们的自定义解析器只允许数学运算，从根本上杜绝了注入风险。 - 可扩展性：通过自定义解析，我们可以轻松加入“取模”或“位运算”等特定业务逻辑，这是
eval()难以做到的。
性能优化提示：虽然 Python 的处理速度很快，但在高频交易或游戏引擎的物理计算中，我们通常不会逐行解释字符串。我们会预先将表达式编译成字节码或 AST，这就像 JavaScript 引擎（V8）中的 JIT（即时编译）优化一样。如果你在开发涉及大量数学计算的应用，请考虑使用 INLINECODE7ce8e134 或 INLINECODE93dbf68f 扩展，或者利用现代 WASM（WebAssembly）技术。
运算顺序练习题 – 未解答版
让我们通过解决这些运算顺序练习题来测试对 PEMDAS 和 BODMAS 概念的理解。
1: 求解：4 + 6 × (9 − 6)2
2: 化简：(9+1)2 ÷ (6 × 3)
3: 计算：18 − 4 × (7 − 3)
4: 求解：(11 − 5) × (32 + 2)
5: 化简：24 ÷ (8 − 4) × 3
6: 计算：(10 ÷ 2) × (4 + 2)2
7: 计算：6 + 5 × (8 − 4)2
8: 求解：(12 − 6) × (3 + 2)2
9: 化简：20 ÷ (7 − 4) + 3
> 延伸阅读：
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> 勾股定理练习题