多项式由两个词组成：Poly（意为“许多”）和 Nomial（意为“项”）。多项式是一个由变量、常数和指数组成的数学方程，它们通过加、减、乘和除等运算混合在一起。多项式的一般形式是
f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a2x2 + a1x + a0
根据项的数量，多项式可以分为单项式、二项式和三项式。例如，像 x、13y、39 等这样的项都是单项式，而像 x2 + x、x10 – x4 等这样的项被称为二项式，因为它们由两项组成。类似地，只有三个项的多项式被称为三项式。
目录
- 多项式的根
- 求多项式根的牛顿法
- 牛顿法的推导
- 牛顿法求根的示例问题
- 牛顿法求根的练习题
多项式的根
多项式的根是给定多项式的解，我们需要确定未知变量的值。如果我们知道根，我们可以将多项式的值计算为零。变量 x 的 n 次多项式是形如 anxn + an-1xn-1 +…… + a1x + a0 的方程，其中每个变量都有一个常数作为其系数。该术语指的是表达式中被加号或减号分隔的每个变量。多项式变量的最高次幂定义为多项式的次数。
求多项式根的牛顿法
牛顿法公式用于通过从一个根迭代到下一个根来寻找多项式的根。对于次数较高的多项式，使用这种方法计算根需要很长时间，但对于次数较低的多项式，结果非常迅速且接近方程的真实根。使用这种策略，如果我们知道方程的任意一个根，我们就可以确定其连续的根。求多项式根的牛顿法公式如下：
> x1=x0-\frac{f(x0)}{f‘({x0})}
>
> 其中，
>
> – x0 是初始值
> – f(x0) 是初始值处的函数值
> – f‘(x0) 是初始值处函数值的一阶导数。
牛顿法的推导
> 牛顿法从一个相对接近真实根（解）的初始猜测开始，然后利用切线获得比我们的第一次猜测或起始点更好的 x 轴截距。
>
> 假设我们正在寻找 f(x) 的根（或 x 轴截距）。这表明我们正在寻找下图中的 a 点。牛顿法的技巧是在点 (b, f(b)) 处画一条切线到图 y = f(x)。
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> 正如我们刚刚看到的，牛顿技术每个阶段的关键计算是发现 y = f(x) 在点 (x1, y1) 处的切线与 x 轴相交的位置。
>
> 斜率为 m 并通过点 (x0, y0) 的直线方程的点斜式给出为：
>
> y – y0 = m(x – x0)。
>
> 在这种情况下，直线的斜率为 f‘(xn)。x 轴截距发生在 y = 0 处。
>
> 因此，通过设 y = 0，我们得到：
>
> x1=x0-\frac{f(x0)}{f‘({x0})}
>
> 证毕。
牛顿法求根的示例问题
问题 1. 从 x0 = 5 开始，求方程 x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0 的下一个根。
解法：
> 根据牛顿法，x1=x0-\frac{f(x0)}{f‘({x0})}
>
> .
>
> 给定：x0 = 5，f(x) = x3 − 7×2 + 8x − 3 = 0
>
> ⇒ f‘(x) = 3×2 − 14x + 8
>
> 现在，x1 = x_0-\frac{f(5)}{f‘({5})}
>
> = 5 − (−13)/13
>
> = 5 + 1
>
> ⇒ x1 = 6
问题 2. 从 x0 = −3.5 开始，求方程 x3 − x2 − 15x + 1 = 0 的下一个根。
解法：
> 根据牛顿法，x1=x0-\frac{f(x0)}{f‘({x0})}。
>
> 给定：x0 = 5（注：此处应为-3.5），f(x) = x3 − x2 − 15x + 1 = 0
>
> ⇒ f‘(x) = 3×2 − 2x − 15
>
> 现在，x1 = x_0-\frac{f(-3.5)}{f‘({-3.5})}
>
> = −3.5 − (−1.625)/28.75
>
> ⇒ x1 = −3.443
问题 3. 从 x0 = 2 开始，求方程 x2 − 2 = 0 的下一个根。
解法：
> 根据牛顿法，x1=x0-\frac{f(x0)}{f‘({x0})}
>
> .
>
> 给定：x0 = 2（注：此处原文为5，但上下文为2），f(x) = x2 − 2 = 0
>
> ⇒ f‘(x) = 2x
>
> 现在，x1 = x_0-\frac{f(2)}{f‘({2})}
>
> = 2 − 2/4
>
> ⇒ x1 = 1.5
问题 4. 从 x0 = 1 开始，求方程 −x3 + 4x2 − 2x + 2 = 0 的下一个根。
解法：
> 根据牛顿法，x1=x0-\fra