深入浅出 Z 变换：从离散信号到系统分析的终极指南

在数字信号处理的旅程中，我们最终都会遇到一个核心概念，它既是连接时域与频域的桥梁，也是分析现代通信系统不可或缺的数学工具——这就是 Z 变换。如果你曾在编写数字滤波器算法时感到困惑，或者在面对离散系统的稳定性分析时束手无策，那么这篇文章正是为你准备的。

今天，我们将深入探讨 Z 变换的本质。我们不仅会学习它的数学定义，还会通过实际的 Python 代码示例，看看它在工程中是如何解决实际问题的。相信我，一旦你理解了 Z 变换背后的逻辑，你会发现它比拉普拉斯变换在某些场景下更加直观和强大。

为什么我们需要 Z 变换？

让我们从熟悉的世界开始。我们都知道模拟信号，它们是连续时间函数，就像我们在物理世界中感受到的声音或光线的连续变化。然而，现代科技的基石是计算机和数字处理器，它们无法直接处理这种无限连续的流动。为了跨越这道鸿沟，我们必须将模拟信号转换为数字信号。

这个过程的第一步是采样。根据著名的奈奎斯特采样定理，只要我们的采样频率高于信号最高频率的两倍，我们就能完美地捕捉信号的信息。这一步将连续的时间轴变成了一个个离散的点：$t = nTs$，其中 $Ts$ 是采样周期。紧接着，我们将这些采样值量化为二进制代码，以便存储或传输。

这时，问题出现了：虽然我们在时间上离散了信号，但在时域中直接分析这些离散序列（比如卷积运算）往往计算量巨大且难以洞察系统的特性（如稳定性）。我们需要一种工具，将这些离散的序列转换到另一个域，在那里，复杂的卷积运算变成简单的乘法，微分方程变成代数方程。

这正是 Z 变换大显身手的地方。它之于离散信号，就像拉普拉斯变换之于连续信号。

Z 变换的核心定义

假设我们有一个离散序列 $y[n]$，它代表了我们对模拟信号的采样结果。这个序列可以表示为：

$$y[n] = \{y0, y1, y_2, …\}$$

Z 变换的数学定义是将这个序列映射到复平面（Z 域）上。其单边 Z 变换定义为：

$$Y(z) = \sum{n=0}^{\infty} y[n] z^{-n} = y0 + y1 z^{-1} + y2 z^{-2} + …$$

这里，$z$ 是一个复变量。你可能会问，为什么要用 $z^{-n}$ 这种形式？这其实是一种非常巧妙的数学工具。$z^{-1}$ 在物理意义上通常代表一个“单位延迟”。如果我们把 $z$ 理解为复平面上的一个点，那么 $Y(z)$ 只有在级数收敛时才有意义。

收敛域（ROC） 是一个至关重要的概念。它指的是在复平面上，使得上述无穷级数收敛的所有 $z$ 值的集合。没有 ROC，Z 变换的解是不完整的。

实战演练：用 Python 理解常用信号的 Z 变换

理论总是枯燥的，让我们通过代码和实际案例来掌握几种最基础但也最重要的 Z 变换形式。

#### 1. 单位脉冲序列

这是数字信号处理中最简单的信号，它在 $n=0$ 时为 1，其他时刻为 0。

$$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n=0 \\ 0, & n

eq 0 \end{cases}$$

Z 变换推导：

$$\mathcal{Z}\{\delta[n]\} = 1 \cdot z^0 + 0 \cdot z^{-1} + … = 1$$

它的 ROC 是整个 $z$ 平面（除了可能的无限远点）。

如果是移位的单位脉冲 $\delta[n-k]$，根据 Z 变换的移位性质，结果是 $z^{-k}$。这告诉我们要一个非常重要的性质：时域的位移对应 Z 域的乘以 $z$ 的幂次。

Python 实战示例：

让我们用 Python 生成一个单位脉冲并观察其特性。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义一个简单的单位脉冲函数
def unit_impulse(n, k=0):
    """
    生成移位单位脉冲序列
    :param n: 序列的索引范围（数组）
    :param k: 脉冲出现的位置（延迟）
    :return: 脉冲序列数组
    """
    return np.where(n == k, 1.0, 0.0)

# 创建时间轴 n 从 -5 到 10
n = np.arange(-5, 11)

# 生成 n=2 处的脉冲
impulse_seq = unit_impulse(n, k=2)

# 打印结果以验证
# 在 n=2 处，值应为 1，即 z^-2 项的系数
print(f"序列值: {impulse_seq}") 

# 绘图
plt.stem(n, impulse_seq)
plt.title(‘移位单位脉冲序列 $\delta[n-2]$‘)
plt.xlabel(‘n (时间)‘)
plt.ylabel(‘幅度‘)
plt.grid(True)
# plt.show() # 在实际运行中取消注释以查看图形

在这个代码中，如果我们在 $k=2$ 处产生脉冲，这实际上代表了一个“延迟 2 拍”的操作。在编写 DSP（数字信号处理）代码时，我们经常用数组索引的移动来实现这个 $z^{-k}$。

#### 2. 单位阶跃序列

这是一个非常基础的序列，从 $n=0$ 开始，所有后续值都为 1。

$$u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

Z 变换推导：

$$U(z) = \sum_{n=0}^{\infty} 1 \cdot z^{-n} = 1 + z^{-1} + z^{-2} + …$$

这是一个首项 $a=1$，公比 $r=z^{-1}$ 的无穷几何级数。为了使级数收敛，公比的绝对值必须小于 1，即 $

< 1$，也就是 $

> 1$。

利用求和公式 $S = \frac{a}{1-r}$，我们得到：

$$U(z) = \frac{1}{1 – z^{-1}} = \frac{z}{z – 1}, \quad \text{ROC: }

> 1$$

工程视角的解读：

这个变换式 $\frac{z}{z-1}$ 在极点 $z=1$ 处是不稳定的。在我们的代码实现中，这对应于一个永不停止的直流信号。如果你设计了一个反馈系统，极点位于单位圆上（如 $z=1$），系统可能会表现出持续的震荡或饱和。

Python 代码验证（级数收敛性）：

import numpy as np

def series_summation_example(z_val, num_terms=10):
    """
    计算 Z 变换级数的前 N 项和，模拟计算机内部的计算过程
    """
    n = np.arange(num_terms)
    terms = z_val ** (-n)
    total_sum = np.sum(terms)
    return total_sum

# 情况 1: z 在收敛域内 (例如 z = 2, |z| > 1)
z_val_roc = 2
approx_sum = series_summation_example(z_val_roc, 100)
theoretical_sum = 1 / (1 - z_val_roc**(-1)) # 理论值 z/(z-1) = 2/1 = 2

print(f"z={z_val_roc} (收敛域内): 近似求和={approx_sum:.4f}, 理论值={theoretical_sum:.4f}")

# 情况 2: z 在收敛域外 (例如 z = 0.5, |z| < 1)
z_val_no_roc = 0.5
approx_sum_bad = series_summation_example(z_val_no_roc, 100)
print(f"z={z_val_no_roc} (收敛域外): 求和发散={approx_sum_bad:.4f} (会变得非常大)")

#### 3. 指数序列

这是我们在分析系统暂态响应时最常见的信号形式。

$$x[n] = \begin{cases} 0, & n < 0 \\ a^n, & n \ge 0 \end{cases}$$

Z 变换推导：

$$X(z) = \sum{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = \sum{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n$$

这又是一个几何级数，公比是 $az^{-1}$。收敛条件是 $

< 1$，即 $

>

$。

$$X(z) = \frac{1}{1 – az^{-1}} = \frac{z}{z – a}, \quad \text{ROC: }

>

$$

关键洞察：极点与稳定性

请注意分母 $z – a$。当 $z = a$ 时，分母为零，$X(z)$ 趋向于无穷大。这个点 $z=a$ 被称为极点。

• 如果 $ a

  < 1$：极点位于单位圆内。对应的时域信号 $a^n$ 会随着 $n$ 增加而衰减，系统是稳定的。

• 如果 $ a

  > 1$：极点位于单位圆外。对应的时域信号 $a^n$ 会无限增长，系统是不稳定的。

这是 Z 变换最强大的特性之一：我们可以通过观察极点在 Z 平面上的位置，直接判断系统的稳定性，而不需要解算复杂的时域方程。

Z 变换在工程中的最佳实践

作为一名开发者，当你掌握了这些基础后，在实际应用中需要注意以下几点：

#### 1. 从数学公式到传递函数

在实际的数字控制系统或滤波器设计中，我们通常处理的是传递函数 $H(z)$，它定义为输出信号的 Z 变换除以输入信号的 Z 变换：

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$$

例如，一个简单的差分方程（描述递归滤波器的代码逻辑）：

$$y[n] = x[n] + 0.5y[n-1]$$

对两边进行 Z 变换（利用线性性质和移位性质 $\mathcal{Z}\{y[n-1]\} = z^{-1}Y(z)$）：

$$Y(z) = X(z) + 0.5z^{-1}Y(z)$$

$$Y(z)(1 – 0.5z^{-1}) = X(z)$$

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 – 0.5z^{-1}} = \frac{z}{z – 0.5}$$

这个传递函数告诉我们，系统有一个极点在 $z=0.5$。因为 $

< 1$（在单位圆内），这个代码实现的滤波器是稳定的。

#### 2. 性能优化：避免无限循环

在实现 IIR（无限脉冲响应）滤波器时，如果代码中的系数设计不当导致极点位于单位圆外，你的输出可能会迅速溢出。

# 模拟一个不稳定系统的递归计算
import numpy as np

def unstable_filter_simulation(input_signal, feedback_coeff):
    """
    模拟 y[n] = x[n] + feedback * y[n-1]
    """
    output = [0] * len(input_signal)
    for n in range(len(input_signal)):
        # 即使输入信号停止，如果 feedback_coeff > 1，输出也会爆炸
        if n == 0:
            output[n] = input_signal[n]
        else:
            output[n] = input_signal[n] + feedback_coeff * output[n-1]
    return output

# 测试信号：一个脉冲后全是 0
input_sig = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

# 稳定情况 (系数 0.5, 极点在单位圆内)
print("稳定系统 (0.5):", unstable_filter_simulation(input_sig, 0.5))

# 不稳定情况 (系数 1.2, 极点在单位圆外)
print("不稳定系统 (1.2):", unstable_filter_simulation(input_sig, 1.2))
# 注意观察输出值是如何呈指数级增长的

常见错误提示：新手常犯的错误是直接复制书本上的公式而没有检查 ROC。如果书本公式对应的是“左边序列”（$n < 0$），而你实现的是“因果系统”（$n \ge 0$），你的滤波器可能会完全不工作。

总结与下一步

在本文中，我们学习了 Z 变换不仅是数学上的定义，更是理解离散系统行为的一把钥匙。

• 核心概念：Z 变换将离散的时域序列转换到复频域，使得卷积运算变为乘法，并帮助我们通过“极点”位置判断系统稳定性。
• 关键公式：对于指数序列 $a^n$，其 Z 变换为 $\frac{z}{z-a}$，收敛域为 $ z

  >

  a

  $。

• 稳定性判据：如果是因果系统，极点必须在单位圆内（$ z

  < 1$）系统才稳定。

掌握了 Z 变换后，你下一步应该探索的是逆 Z 变换以及如何使用部分分式展开法来设计更复杂的滤波器。或者，你可以尝试使用 Python 的 scipy.signal 库来设计你的第一个 Butterworth 或 Chebyshev 数字滤波器，将今天的理论应用到实际的音频处理或数据分析中去。

希望这篇文章能帮助你从零开始建立起对 Z 变换的直观理解。如果你在编写代码时有任何疑问，不妨回到 ROC 和极点的概念上，答案往往就藏在数学之中。