识别常规语言通常很简单，但要确定一种语言是否为上下文无关语言可能会比较棘手。由于泵引理通常需要数学证明，这往往非常耗时。不过，利用观察技巧可以帮助我们快速判断一种语言是否属于上下文无关语言。
上下文无关语言的泵引理
- 这是一个负面测试，有助于证明一种语言不是上下文无关语言。
- 如果一种语言未能通过泵引理的测试，那么它就不是上下文无关语言。
- 然而，如果一种语言满足了泵引理的条件，它可能是也可能不是上下文无关语言，因此我们需要进一步的分析。
识别上下文无关语言的规则
基于常见的观察和分析，我们可以通过以下方法迅速解决这个问题：
1. 每一个常规语言都是上下文无关语言
示例：
> L = \{ a^m b^l c^k d^m \mid m, l, k, n \geq 1 \}
这个语言是上下文无关的，因为它同时也是一个常规语言。
2. 存在用于基于栈比较的“中点”
如果存在一个中点，使得我们可以利用栈来比较左半部分和右半部分，那么该语言是上下文无关的。
示例（上下文无关）：
> – L = \{a^n b^n \mid n \geq 1\} → 将所有的 INLINECODE187c5ba8 压入栈中，然后在遇到每个 INLINECODEfe01eb14 时弹出 a 进行匹配。
> – L = \{a^m b^n c^{(m+n)}\} → 该语言可以重写为 \{a^m b^n c^n c^m\}。
> – L = \{a^n b^{(2n)}\} → 每压入两个 INLINECODEebc2a5ca，就在遇到 INLINECODEaaaf0400 时弹出一个 a。
示例（非上下文无关）：
> L = \{a^n b^n c^n\} → 这需要进行三次独立的比较，这是单一的栈无法处理的。
3. 组合独立的上下文无关表达式
如果一个语言由多个独立的上下文无关语言（CFL）组成，那么它仍然是上下文无关的。
示例（上下文无关）：
> L = \{a^m b^m c^n d^n\} → 这里包含两个基于中点的独立上下文无关结构。
示例（非上下文无关）：
> L = \{a^m b^n c^m d^n\} → 这里需要进行交叉比较，这是单个栈无法做到的。
4. 包含独立正则表达式的中点
如果在上下文无关语言的部分之间存在正则表达式，该语言仍然是上下文无关的。
示例（上下文无关）：
> L = \{a^m b^i c^m d^k\} → INLINECODEcf365ba5 和 INLINECODEb482c8e9 是正则表达式，它们不会干扰上下文无关语言的性质。
5. 非线性计数或复杂的依赖关系（非上下文无关）
如果该语言不能形成可识别的栈模式，那么它不是上下文无关语言。
示例（非上下文无关）：
> – L = \{ a^m b^{n^2} \}
> – L = \{ a^n b^{2n} \}
> – L = \{ a^{n^2} \}
> – L = \{ a^m \mid m \text{ is prime} \}
这些语言需要非线性计数或素数检查，这是下推自动机（PDA）无法处理的。
6. 独立计数三个或更多变量（非上下文无关）
下推自动机（PDA）一次只能比较两个变量。
示例（非上下文无关）：
> – L = \{a^n b^n c^n\} → 这里包含三个独立的变量。
> – L = \{ w \mid na(w) = nb(w) = nc(w) \} → 需要同时对 INLINECODE2a10fe80、INLINECODEa580b385 和 INLINECODEf987e9f3 进行计数。
> – L = \{a^i b^j c^k \mid i > j > k\} → 涉及三个独立计数器的复杂排序。
7. 无法与栈底进行比较（非上下文无关）
PDA 只能比较栈顶的元素。任何需要与栈底进行比较的语言都不是上下文无关的。
示例（非上下文无关）：
> – L = \{a^m b^n c^m d^n\} → 无法将 INLINECODE56cb2a03 与 INLINECODEcbe72426 进行比较，因为中间隔着 b^n。
> – L = \{ WW \mid W \in \{a, b\}^* \} → 第一个 INLINECODE22d625bf 位于栈底，无法与第二个 INLINECODE426001d7 进行比较。
8. 利用非确定性来检测中点（上下文无关）
非确定性下推自动机（NPDA）可以猜测中点的位置，这使得该语言成为上下文无关语言。
示例（上下文无关）：
> – L = \{ W W^r \mid W \in \{a, b\}^* \} → 非确定性 PDA 可以猜测中点的位置并进行比较。
> – L = \{ a^i b^j c^k d^l \mid i = k \text{ or } j = l \} → 这两个条件中的任何一个都可以被独立处理。