反证法是一种证明命题为真的有力方法。首先，我们假设相反的结论是成立的，然后遵循逻辑推导。如果我们最终得出了荒谬的结果或自相矛盾的结论，这就意味着最初的假设是错误的，从而证明了原命题必须是正确的。
这就像是在说：“让我们假装这个结论不是真的，如果这导致了某种不可能发生的情况，那么它实际上必然是真的。” 这种方法常用于数学证明，例如证明“素数有无穷多个”或“√2 是无理数”。
让我们深入探讨一下这个话题。
目录
- 数学中的证明
- 反证法
- 反证法实例
- 练习题
数学中的证明
在数学中，证明 是一种逻辑论证，它基于既定事实、公理（不言自明的真理）和逻辑规则来演示数学陈述的真实性。证明展示了逐步推理的过程，不留任何怀疑或歧义的余地，以确保该陈述具有普遍的真理性。
数学中主要有四种证明类型：
- 直接证明法：通过从假设到结论的直接逻辑步骤来证明陈述。
- 例如：证明两个偶数之和永远是偶数。
- 间接证明法（反证法）：假设陈述的反面成立，并证明该假设会导致矛盾，从而证明原陈述必然为真。
- 归纳法：通过证明其对第一个数（基础情况）成立，并假设其对某一个数成立以证明其对下一个数也成立（归纳步骤），来证明陈述对所有自然数都成立。
- 构造性证明：涉及构造一个特定的例子来证明某事物的存在。
在本文中，我们将详细讨论反证法及其相关实例。
反证法通常被称为“归谬法”（拉丁语为 reductio ad absurdum）。反证法 是一种证明数学陈述的方法，通过假设该陈述的反面（否定）为真，然后证明该假设会导致逻辑矛盾。
一旦得出矛盾，就证实了原陈述必须为真，因为假设其为假是不可能的。
反证法的步骤
使用这种方法通常包含以下几个步骤：
- 假设反面：首先假设你想要证明的命题的相反面是成立的。
- 逻辑推理：从这个假设出发进行逻辑推导。
- 找出矛盾：寻找一个违背已知事实、规则或公理的结果。
- 得出结论：由于矛盾的存在，说明假设必然是错误的，因此原陈述必然是正确的。
反证法实例
实例 1：证明素数有无穷多个。
证明：
> 让我们假设素数的数量是有限的。
>
> 假设所有素数的列表为：p1, p2, …, pn，其中 p1 是最小的素数，pn 是最大的素数。
> 现在，让我们通过将所有这些素数相乘并加 1 来创建一个新数 P：
> P = (p1 × p2 × p3 × … × pn) + 1
>
> 这个新数 P 大于我们列表中的任何素数。此外，当用列表中的任何素数除 P 时，总是有余数 1（因为 P 比这些素数的乘积大 1）。因此，P 不能被列表中的任何素数整除。
>
> 如果 P 不能被我们假设的有限列表中的任何素数整除，那么 P 本身必须是一个素数，或者可以被列表之外的某个其他素数整除。这与我们的假设（列表包含了所有素数）相矛盾。
>
> 因此，我们关于素数数量有限的假设必须是错误的，这意味着有无穷多个素数。
实例 2：证明 √2 是无理数。
证明：
> 让我们假设 √2 是有理数。
>
> 那么 √2 可以表示为分数 a/b，其中 a 和 b 是没有公因子的整数（互质）。
>
> 对两边平方，我们得到：
> 2 = a² / b²
>
> 两边同乘 b²，我们得到：
> 2b² = a²
> 这表明 a 必须是偶数，因为 a² 是偶数。
>
> 设某个整数 k 为 a = 2k。
> 2b² = (2k)² = 4k²。
> b² = 2k²。
> 这表明 b² 是偶数，所以 b 也必须是偶数。
>
> 然而，如果 a 和 b 都是偶数，它们就有一个公因子 2，这与我们假设它们没有公因子相矛盾。因此，我们最初的假设（√2 是有理数）必须被推翻，结论是 √2 是无理数。
实例 3：如果 n 是整数且 n² 是奇数，则 n 是奇数。
证明：
> 假设 n 是一个偶数。
>
> 现在，我们对 n 进行平方来看看会发生什么。
> 如果 n 是偶数，那么 n = 2a，其中 a 是任意整数。
> n² = (2a)² = 4a²。
>
> 这意味着 n² 是 4 的倍数。没有任何奇数能被偶数整除。
>
> 所以这与前提相矛盾……