在我们构建复杂的网络拓扑或处理社交图谱数据时，图论中的基础概念往往扮演着至关重要的角色。今天，我们将深入探讨一个看似简单却极具代表性的问题：如何找到图中特定顶点的度数。虽然这听起来像是教科书上的入门练习，但在2026年的软件开发环境下，当我们面对动辄百亿节点的海量数据时，如何高效、健壮地实现这一功能，实际上是对我们工程架构能力的极大考验。
在图中，一个顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。如果是无向图，这就是邻居的数量；而在有向图中，我们需要区分入度和出度。让我们首先回顾经典的邻接矩阵解法，然后探讨其在现代开发中的演进。
经典实现：邻接矩阵视角
当图的数据结构以邻接矩阵的形式存储时，寻找度数在逻辑上非常直观。邻接矩阵是一个二维数组，其中的每个元素 INLINECODE44fcb251 表示顶点 INLINECODE6d0ae2d3 和 j 之间是否存在边。
算法逻辑：
- 定位到该顶点在矩阵中对应的行。
- 遍历该行的所有元素。
- 统计值为 1（或非零值）的元素个数。
- （特别注意）检查对角线元素。如果存在自环，即
matrix[v][v] == 1，则需要额外增加度数计数。
这种方法的实现非常直接。以下是一个结合了现代 C++ 特性（如使用 vector 避免手动内存管理）的健壮实现示例，这也是我们在日常开发中为了避免内存泄漏而倾向于使用的风格：
#include
#include
#include // 引入标准异常库
using namespace std;
// 我们使用类来封装图的数据和行为，这是现代C++的核心思想
class Graph {
private:
int numVertices;
vector<vector> adjMatrix;
public:
// 构造函数：初始化矩阵，默认填0
Graph(int vertices) : numVertices(vertices), adjMatrix(vertices, vector(vertices, 0)) {}
// 添加边：封装内部实现，防止外部直接修改破坏数据完整性
void addEdge(int i, int j, bool directed = false) {
if (i >= 0 && i = 0 && j < numVertices) {
adjMatrix[i][j] = 1;
if (!directed) {
adjMatrix[j][i] = 1;
}
} else {
// 边界检查：生产环境必不可少的一步
throw out_of_range("Vertex index out of bounds");
}
}
// 获取度数：针对无向图
int findDegree(int vertex) {
if (vertex = numVertices) {
return -1; // 或者抛出异常，取决于你的错误处理策略
}
int degree = 0;
for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
if (adjMatrix[vertex][i] == 1) {
degree++;
}
}
// 处理自环的情况
if (adjMatrix[vertex][vertex] == 1) {
degree++;
/* 解释：在普通遍历中，自环只被计算了一次。
根据图论定义，自环对度数的贡献应当为2（头和尾都连向自身），
但在某些简化计算中我们可能只加1。
在这里我们遵循题目逻辑，发现一次加一次。
*注意：如果严格遵循数学定义，自环通常贡献2度，
此处代码逻辑匹配题目描述的特定行为。*
*/
}
return degree;
}
};
// 让我们看看如何在实际业务中使用
int main() {
try {
Graph g(4);
g.addEdge(0, 1);
g.addEdge(0, 2);
g.addEdge(0, 3);
g.addEdge(1, 3);
g.addEdge(2, 3);
cout << "Vertex 0 degree: " << g.findDegree(0) << endl;
} catch (const exception& e) {
cerr << "Error: " << e.what() << endl;
}
return 0;
}
工程化深度：邻接表的性能优势
虽然邻接矩阵易于理解，其空间复杂度为 $O(V^2)$。在我们最近处理的一个涉及社交网络关系的项目中，当节点数达到百万级时，矩阵方式直接导致了内存溢出（OOM）。这时，我们必须转向邻接表表示法。
邻接表的空间复杂度为 $O(V + E)$，对于稀疏图（大多数现实世界的网络都是稀疏的）极其高效。计算顶点度数的时间复杂度也从 $O(V)$ 降低到了 $O(1)$（仅需计算邻居列表的大小）或 $O(k)$（k为邻居数）。
让我们看看如何在 Python 中利用现代类型提示来实现它，这种写法在 AI 辅助编程（如 GitHub Copilot 或 Cursor）中更易于被理解和管理：
from typing import Dict, List
class GraphOptimized:
def __init__(self):
# 使用字典存储图，支持任意类型的节点标识符，不仅限于整数
self.adj_list: Dict[int, List[int]] = {}
def add_edge(self, u: int, v: int) -> None:
# 自动处理节点不存在的情况
if u not in self.adj_list:
self.adj_list[u] = []
if v not in self.adj_list:
self.adj_list[v] = []
# 无向图加边
self.adj_list[u].append(v)
self.adj_list[v].append(u)
def get_degree(self, vertex: int) -> int:
# 在邻接表中，度数就是列表的长度
if vertex in self.adj_list:
return len(self.adj_list[vertex])
return 0
# 实际场景：粉丝关注网络分析
if __name__ == "__main__":
# 假设我们在分析一个微服务之间的调用关系图
service_graph = GraphOptimized()
edges = [(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3)]
for u, v in edges:
service_graph.add_edge(u, v)
print(f"Degree of Service 0: {service_graph.get_degree(0)}")
# 这种实现方式内存占用极低，且查询速度飞快
2026年开发视角：AI原生与故障排查
现在，让我们站在2026年的视角重新审视这个问题。在当今的Agentic AI（自主代理）工作流中，我们不仅仅是写代码，更是定义数据契约和错误处理策略。当AI助手协助我们编写这段代码时，它会考虑到以下几点我们可能忽略的边界情况：
- 自环的特殊处理：这是初学者最容易犯错的地方。如果不检查对角线元素，或者将自环计数为1而非2（视定义而定），会导致后续基于握手定理的奇点校验失败。
- 孤立节点：查询一个不存在的节点应该返回什么？是0，-1，还是抛出异常？在微服务架构中，这通常需要结合 HTTP 状态码来定义。
- 并发安全：如果这个图结构被多个线程修改（例如实时计算网络流量），我们的 INLINECODE36c708d4 函数必须加锁或使用原子操作。Java 中的 INLINECODEd718d6d1 或 C++ 中的
std::atomic是我们常用的解决方案。
调试技巧分享：
你可能会遇到这样的情况——明明看起来有边连接，计算出的度数却是0。在我们团队使用 Cursor 或 Windsurf 这类现代IDE的调试过程中，我们发现最常见的原因往往是索引越界或矩阵初始化不全。现在的AI IDE能够通过可视化内存堆栈直接指出矩阵的某一行全为0，极大缩短了排查时间。
例如，如果你使用邻接矩阵但忘记初始化对角线以外的空间，或者误将图当作有向图处理但代码逻辑是按无向图写的，都会导致数据不一致。
复杂度分析与最佳实践
为了让你在面对技术面试或架构评审时更有底气，我们来总结一下核心的复杂度权衡：
- 邻接矩阵:
* 查找度数: $O(V)$ —— 需要遍历整行。
* 空间: $O(V^2)$ —— 即使没有边，也要分配空间。
适用场景*: 稠密图，需要快速判断两点间是否有边 ($O(1)$)。
- 邻接表:
* 查找度数: $O(1)$ （直接取长度）或 $O(E_v)$（如果需要遍历去重）。
* 空间: $O(V + E)$ —— 只存储实际存在的边。
适用场景*: 稀疏图（社交网络、网页链接），绝大多数现代应用的场景。
在这篇文章中，我们不仅学习了如何计算顶点的度数，更重要的是，我们探讨了从简单的算法实现到企业级代码思维的转变。通过结合现代C++、Python以及AI辅助开发的视角，我们可以看到，即使是基础的算法，在应对真实世界的复杂需求时，也充满了工程学的智慧。希望这些经验能帮助你在下一次系统设计中做出更明智的选择。