在探索线性代数的世界时，你是否曾经遇到过这样的情况：虽然找到了矩阵的特征值，但在后续的矩阵对角化或求解微分方程组时却总是卡壳？这通常是因为你忽略了隐藏在特征值背后的两个关键概念——代数重数与几何重数。
这两个概念不仅是判断矩阵是否可对角化的核心依据，更是理解线性变换“深层性格”的钥匙。如果不清楚它们的区别，我们很容易在处理复杂系统时误判矩阵的性质。
在这篇文章中，我们将摒弃枯燥的教科书式定义，像工程师解决问题一样，深入探讨代数重数和几何重数的本质区别、它们在数学上的实际意义，以及如何通过代码和手工计算来准确求解它们。无论你是在备考研究生，还是在从事机器学习或图形学开发，这篇文章都将为你提供坚实的理论基础和实战经验。
什么是代数重数？—— 频率与根源
让我们从最直观的概念开始。
> 代数重数：一个特征值作为矩阵特征多项式的根出现的次数。
简单来说，如果你把矩阵的特征多项式写成因式分解的形式，比如 $(x-2)^3(x-4)^2$，那么数字 3 和 2 就分别是特征值 2 和 4 的代数重数。这就像是在告诉我们在“频率”上，这个特征值在多项式的根中重复出现了多少次。
数学上的直观理解
回想一下我们是如何寻找特征值的。我们需要解这个方程：
$$ \det(A – \lambda I) = 0 $$
这个方程被称为特征方程。求解它本质上是在寻找一个标量 $\lambda$，使得矩阵 $A – \lambda I$ 变成奇异矩阵（即行列式为 0）。
对于给定的矩阵 $A$，其特征多项式通常是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式。根据代数基本定理，一个 $n$ 次多项式在复数域内有 $n$ 个根。如果特征值 $\lambda1$ 是方程的 $k$ 重根，那么我们就说 $\lambda1$ 的代数重数是 $k$。
这意味着：
- 所有特征值的代数重数之和必须等于矩阵的维数 $n$。
- 它是一个纯粹的“代数”概念，只取决于特征方程的解。
示例解析：代数重数的计算
假设我们有一个矩阵 $A$，计算后得到其特征多项式为：
$$ P(\lambda) = (\lambda – 5)^3 (\lambda + 2)^1 $$
在这里：
- 特征值 $\lambda = 5$ 的代数重数为 3（因为是立方）。
- 特征值 $\lambda = -2$ 的代数重数为 1。
如果矩阵是 $4 \times 4$ 的，那么 $3 + 1 = 4$，这验证了我们的计算在维度上是正确的。代数重数就像是在数数，确保我们所有的“根”加起来正好填满矩阵的维度。
什么是几何重数？—— 空间与维度
理解了代数重数后，我们来看看稍微抽象一点的几何重数。
> 几何重数：定义为对应于某个特征值的特征空间的维度，也就是该特征值对应的线性无关特征向量的最大个数。
要理解这个概念，我们首先要回顾什么是特征空间。
特征空间的本质
当我们把特征值 $\lambda$ 代回方程 $(A – \lambda I)x = 0$ 时，我们实际上是在求解一个齐次线性方程组。这个方程组的解集（也就是零空间）被称为特征空间（Eigenspace），记作 $E_\lambda$。
这个空间里包含了所有的特征向量，以及零向量。
几何重数就是这个空间的维度（维数）。
实际意义
几何重数告诉我们，对于特定的特征值，有多少个“独立”的方向在进行缩放时保持方向不变。
- 几何重数 = 1：只有一条直线上的向量在该特征值作用下保持共线。
- 几何重数 = 2：有一个平面上的向量在该特征值作用下保持共面。
回到之前的例子，如果特征值 $\lambda = 5$ 的几何重数是 2，这意味着我们可以找到两个线性无关的特征向量 $v1$ 和 $v2$，它们构成了一个二维平面，而这个平面上的任何向量在 $A$ 的作用下都只会伸长或缩短 5 倍，而不会偏离这个平面。
关键关系：不等式定理
这是线性代数中最重要也是最容易被忽视的定理之一。对于任意特征值，以下不等式恒成立：
$$ 1 \le \text{几何重数} \le \text{代数重数} $$
这条定理告诉了我们什么？
- 下界（1）：只要 $\lambda$ 是一个特征值，它至少有一个特征向量，所以几何重数至少是 1。
- 上界（代数重数）：几何重数永远不可能超过代数重数。你不可能找到比“根出现的次数”更多的独立方向。
这一点的推论至关重要：
- 如果对于所有特征值，几何重数都等于代数重数，那么矩阵 $A$ 就是可对角化的。
- 如果存在任何一个特征值，其几何重数 小于 代数重数，那么矩阵 $A$ 就是亏损的，不可对角化（只能化为 Jordan 标准形）。
例如，如果特征值 2 的代数重数是 3，但你只能找到 2 个独立的特征向量（几何重数为 2），那么这个矩阵在几何上就是“缺损”的，它没有足够的特征向量来构成整个空间的一组基。
实战演练：计算与代码实现
光说不练假把式。让我们通过具体的计算步骤和 Python 代码来彻底搞懂如何求解这两个重数。
案例 1：手动计算解析
给定矩阵 $B$：
$$ B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} $$
#### 第一步：寻找特征值与代数重数
首先计算特征多项式 $\det(B – \lambda I)$：
$$ \det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) – (1)(2) $$$$ = 12 – 7\lambda + \lambda^2 – 2 $$$$ = \lambda^2 – 7\lambda + 10 $$$$ = (\lambda – 5)(\lambda – 2) $$
结果：
- 特征值为 $\lambda1 = 5$ 和 $\lambda2 = 2$。
- 因为它们都是一次因子，所以它们的代数重数均为 1。
#### 第二步：寻找几何重数
对于 $\lambda = 5$：
代入 $(B – 5I)x = 0$：
$$ \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x1 \\ x2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$$$ -x1 + x2 = 0 \Rightarrow x1 = x2 $$
我们得到一个基础解系 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。只有 1 个独立向量，所以几何重数 = 1。
对于 $\lambda = 2$：
代入 $(B – 2I)x = 0$：
$$ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x1 \\ x2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$$$ 2x1 + x2 = 0 \Rightarrow x2 = -2x1 $$
我们得到一个基础解系 $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$。只有 1 个独立向量，所以几何重数 = 1。
结论： 由于代数重数等于几何重数（都是1），该矩阵可对角化。
案例 2：不可对角化矩阵（代数重数 > 几何重数）
让我们看一个经典的“剪切”矩阵（Jordan Block形式）：
$$ J = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $$
- 代数重数：特征多项式为 $\det(J – \lambda I) = (2-\lambda)^2$。特征值 $\lambda = 2$ 的代数重数为 2。
- 几何重数：求解 $(J – 2I)x = 0$。
$$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x1 \\ x2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x_2 = 0 $$
$x_1$ 是自由变量。基础解系只有 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 一个向量。
几何重数 = 1。
分析：这里 $2 < 1$（几何 < 代数），所以 $J$ 无法对角化。
案例 3：使用 Python 进行高效计算
在现代开发中，我们通常使用 INLINECODE34c523bd 或 INLINECODEff7a19c5 来处理矩阵运算。下面是一个完整的 Python 脚本，用于自动计算特征值、代数重数和几何重数。
import numpy as np
from collections import Counter
def get_multiplicities(matrix):
"""
计算矩阵的代数重数和几何重数
"""
# 1. 计算特征值（numpy返回的是代数重数，包含重复值）
eigenvalues = np.linalg.eigvals(matrix)
# 由于浮点数精度问题，我们需要对特征值进行近似匹配来计数
# 这里使用简单的四舍五入和计数来模拟代数重数的查找
rounded_eigenvals = [round(np.real(val), 4) + round(np.imag(val), 4) * 1j for val in eigenvalues]
alg_mults = Counter(rounded_eigenvals)
print(f"分析矩阵:
{matrix}")
print("---" * 10)
unique_eigenvalues = set(rounded_eigenvals)
for val in unique_eigenvalues:
# 获取代数重数
alg_count = alg_mults[val]
# 计算几何重数
# 几何重数 = n - rank(A - lambda*I)
# 必须处理复数特征值的情况，这里为演示简化处理实数情况或分开处理
A_minus_lambdaI = matrix - val * np.eye(matrix.shape[0])
# 计算秩
rank = np.linalg.matrix_rank(A_minus_lambdaI)
geo_mult = matrix.shape[0] - rank
print(f"特征值: {val}")
print(f" - 代数重数: {alg_count}")
print(f" - 几何重数: {geo_mult}")
if geo_mult == alg_count:
print(f" - 状态: 完美 (可以生成足够的特征向量)")
else:
print(f" - 状态: 亏损 (几何重数不足，矩阵不可对角化)")
print("---" * 10)
# 示例 1：可对角化矩阵
A = np.array([[4, 1],
[2, 3]])
get_multiplicities(A)
print("
" + "="*20 + "
")
# 示例 2：不可对角化矩阵 (Shear Matrix)
B = np.array([[2, 1],
[0, 2]])
get_multiplicities(B)
代码解析：
-
np.linalg.eigvals: 这是 NumPy 计算特征值的核心函数。它返回的数组中，重复的特征值会出现多次，这实际上就直接给了我们代数重数的信息。 - 几何重数的计算逻辑: 我们利用了秩-零化度定理。$n \times n$ 矩阵的零空间维度等于 $n – \text{rank}(A)$。对于特征值 $\lambda$，我们计算 $A – \lambda I$ 的秩，然后用矩阵维度减去它，就得到了几何重数。
- 浮点数陷阱: 在计算机中计算特征值往往会有精度误差（例如算出 2.000000001 而不是 2）。代码中使用了
round函数来进行近似归类，这对于理解概念很有帮助，但在高精度科学计算中可能需要更复杂的误差容错处理。
常见误区与最佳实践
在实际工程和研究中，处理代数重数和几何重数时，有几个容易掉进去的“坑”：
1. 混淆重数与特征值个数
很多初学者会问：“矩阵有 3 个特征值，为什么只有一个数？”。
记住：我们通常说的是“互不相同的特征值”。如果代数重数大于 1，说明特征值是重复的。例如，矩阵可能有 1 个不同的特征值，但代数重数是 3（意味着它重复了 3 次）。
2. 忽略几何重数的计算
很多刚入门的开发者只满足于求出特征值，认为任务就结束了。但在动态系统分析中（如马尔可夫链的稳态分析），如果你忽略了几何重数，你可能无法构建出完整的广义特征向量链，从而无法正确描述系统的长期行为。
3. 计算几何重数时的行列式误区
计算几何重数时，不要只看 $\det(A – \lambda I)$ 是否为 0（这只验证了它是不是特征值）。你需要求的是秩。仅仅行列式为 0 并不告诉你零空间有多大，只有求出秩，通过 $n – \text{rank}$ 才能得到具体的维度（几何重数）。
结论：走向更高级的应用
代数重数和几何重数是连接线性代数计算与几何直观的桥梁。
- 代数重数告诉我们特征值在方程层面的“重要性”和“频率”。
- 几何重数告诉我们该特征值在空间变换中实际拥有的“自由度”或“方向数”。
理解并掌握这两者的区别，不仅能让你在面对考试时游刃有余，更能帮助你在数据科学（如 PCA 主成分分析）、图形学（如矩阵变换）和物理模拟中正确地分析和使用矩阵。
如果你想在日后的学习中进行更深入的探索，建议你尝试了解以下概念：
- Jordan 标准形：这是处理几何重数小于代数重数时的终极武器。
- 奇异值分解 (SVD)：它绕过了特征值的限制，对任何矩阵都适用，是现代数据科学的基石。
希望这篇文章能帮助你彻底理清这两个概念。线性代数的路很长，但每一步的清晰理解都会让后面的路走得更稳。加油！