在 MATLAB 中高效计算矩阵间余弦相似度的实战指南

2026-02-13 17:17:58 0条评论 1次阅读 0人点赞

引言

你是否曾经遇到过需要比较两组数据之间“相似程度”的情况？在数据科学、机器学习以及信号处理的日常工作中，我们经常需要量化两个矩阵或向量集之间的关系。这时，余弦相似度（Cosine Similarity） 便是一个不可或缺的工具。

不同于欧几里得距离关注的是数值上的绝对差异，余弦相似度更侧重于两个向量在方向上的一致性。这意味着，即使数据的量纲（Magnitude）差异巨大，只要它们的变化趋势相同，余弦相似度就能给出一个公正的评价。

在今天的这篇文章中，我们将深入探讨如何在 MATLAB 这一强大的计算环境中实现这一算法。我们将从基础概念出发，逐步构建代码，不仅会向你展示“怎么写”，更重要的是解释“为什么这么写”。我们将涵盖行向量化、归一化的多种方法，以及处理大数据时的性能优化技巧。无论你是初学者还是寻求优化的资深开发者，这篇文章都将为你提供实用的见解。

理解余弦相似度：不仅仅是公式

让我们先直观地理解一下什么是余弦相似度。想象一个二维坐标系，原点处有两条射线。如果这两条射线指向完全相同的方向，它们之间的夹角是 0 度，余弦值（cos 0°）等于 1，表示完全相似。如果它们垂直，夹角 90 度，余弦值为 0，表示两者正交（无关）。如果方向相反，余弦值为 -1，表示完全相反。

在数学上，给定两个非零向量 $A$ 和 $B$，它们之间的余弦相似度 $θ$ 定义为点积（Dot Product）除以向量范数（Norm）的乘积：

$$ θ = \cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{\

A\

\

B\

} = \frac{\sum Ai Bi}{\sqrt{\sum Ai^2} \sqrt{\sum Bi^2}} $$

在我们的场景中，我们处理的是矩阵。通常，我们会将矩阵的每一行视为一个独立的高维向量。我们的目标是计算矩阵 A 的每一行与矩阵 B 的每一行之间的相似度。结果将是一个相似度矩阵，其中第 $(i, j)$ 个元素表示 A 中第 $i$ 行与 B 中第 $j$ 行的相似程度。

核心步骤与实战代码

要实现这一目标，我们可以将计算过程分解为三个主要步骤：

  • 数据准备与归一化：消除向量长度的影响，只保留方向信息。这被称为 L2 归一化。
  • 矩阵乘法：利用 MATLAB 强大的线性代数能力一次性计算所有点积。
  • 结果分析：提取具体的相似度数值或计算全局统计信息。

让我们通过几个具体的例子来看看如何在 MATLAB 中优雅地实现这些步骤。

示例 1：基础的逐行归一化方法

在这个例子中，我们将手动计算每一行的范数，并利用它进行归一化。这种方法非常直观，有助于我们理解背后的数学原理。

% 定义两个矩阵 A 和 B
% 假设每一行代表一个数据样本（例如：文档的特征向量或图像的特征）
A = [1 2; 
     3 4; 
     5 6];
B = [5 6; 
     7 8; 
     9 1];

% 第一步：对矩阵进行 L2 归一化（使其成为单位向量）
% 我们初始化一个与 A 大小相同的矩阵来存储归一化后的结果
A_norm = zeros(size(A));
B_norm = zeros(size(B));

% 使用循环遍历每一行进行归一化
% 注意：虽然这在 MATLAB 中不是最快的，但最容易理解
for i = 1:size(A, 1)
    % 计算 A 中第 i 行的欧几里得范数（2-范数）
    row_norm = norm(A(i, :), 2);
    
    % 防止除以零的错误（如果某一行全是 0）
    if row_norm > 0
        A_norm(i, :) = A(i, :) / row_norm;
    end
end

% 对矩阵 B 做同样的操作
for i = 1:size(B, 1)
    row_norm = norm(B(i, :), 2);
    if row_norm > 0
        B_norm(i, :) = B(i, :) / row_norm;
    end
end

% 第二步：计算点积
% 由于我们已经将向量归一化为单位长度，
% 两个单位向量的点积在数值上直接等于它们夹角的余弦值。
% 使用矩阵乘法 A * B‘ 可以一次性计算所有行的点积组合
cosine_similarity = A_norm * B_norm‘;

% 显示结果
disp(‘矩阵 A 与 B 之间的余弦相似度矩阵:‘);
disp(cosine_similarity);

% 可选：计算全局平均相似度
mean_sim = mean(cosine_similarity(:));
disp([‘平均余弦相似度: ‘, num2str(mean_sim)]);

代码解析：

在这个示例中，我们显式地遍历了每一行。关键点在于 INLINECODE1c96e3d1 这一行，它计算了行的欧几里得长度。一旦我们将每个向量除以其自身的长度，剩下的点积计算 INLINECODE43fdf800 就非常高效了。这利用了 MATLAB 的矩阵乘法优化，比嵌套的 for 循环快得多。

示例 2：使用 bsxfun 进行隐式扩展（更 MATLAB 风格的写法）

在现代 MATLAB 编程中，我们通常会尽量避免显式的 INLINECODE0a6d2971 循环，以利用其向量化计算的能力。INLINECODEbfb4ce3c 是一个非常强大的函数，它可以在两个数组之间进行单边扩展（Broadcasting），这在处理归一化时非常有用。

% 重新定义矩阵 A 和 B
A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];

% 技巧详解：
% 1. sqrt(sum(A.^2, 2)) 计算每一行的平方和的平方根（即 L2 范数）
%    sum(A.^2, 2) 中的 "2" 表示按行求和。
% 2. bsxfun(@rdivide, ..., ...) 将范数向量“扩展”以匹配矩阵的维度，
%    并执行逐元素的除法操作。

% 对 A 进行行归一化
A_norm = bsxfun(@rdivide, A, sqrt(sum(A.^2, 2)));

% 对 B 进行行归一化
B_norm = bsxfun(@rdivide, B, sqrt(sum(B.^2, 2)));

% 计算余弦相似度矩阵
dot_product = A_norm * B_norm‘;

disp(‘使用 bsxfun 计算的余弦相似度:‘);
disp(dot_product);

% 计算所有行对之间的平均相似度
mean_cosine_similarity = mean(dot_product(:));
disp([‘平均相似度: ‘, num2str(mean_cosine_similarity)]);

代码解析：

在这里，INLINECODEa5008fe3 告诉 MATLAB 用矩阵 A 除以一个列向量（范数向量）。MATLAB 会自动将这个除数“复制”到 A 的每一列。这种方法不仅代码更简洁，而且在处理大型矩阵时，执行速度通常比手写 INLINECODEd6a8a23b 循环快得多，因为它调用了底层的优化库。

示例 3：利用 R2016b+ 的隐式扩展（最新语法）

如果你使用的是 MATLAB R2016b 或更高版本，bsxfun 的功能已经被整合进了基本的运算符中。这意味着代码可以变得更加简洁易读。

A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];

% 计算每行的范数
% 结果是一个列向量
normA = sqrt(sum(A.^2, 2)); 
normB = sqrt(sum(B.^2, 2));

% 直接使用除法运算符 ./
% MATLAB 会自动将 normA (Nx1) 扩展以匹配 A (NxM)
A_norm = A ./ normA;
B_norm = B ./ normB;

% 计算相似度
S = A_norm * B_norm‘;

% 找出最相似的行对
[max_score, idx] = max(S(:));
[row_A, row_B] = ind2sub(size(S), idx);

fprintf(‘最高相似度: %.4f
‘, max_score);
fprintf(‘匹配对: A的第%d行 和 B的第%d行
‘, row_A, row_B);

进阶应用与常见陷阱

掌握了基本实现后，让我们来谈谈在实际工程中可能遇到的问题和解决方案。

处理零向量

在实际数据中（例如稀疏文本数据），某些行可能完全由零组成。如果我们尝试对零向量进行归一化（除以 0），MATLAB 会产生 INLINECODE5ae5a272（非数字）或 INLINECODEb272693b（无穷大）。

解决方案：

在归一化之前，我们必须检查范数是否为零。

% 安全的归一化函数演示
A = [1 2; 0 0; 3 4]; % 包含一个零向量
row_norms = sqrt(sum(A.^2, 2));

% 找出非零范数的索引
non_zero_mask = row_norms > 0;

% 初始化归一化矩阵
A_norm = zeros(size(A));

% 仅对非零行进行除法
A_norm(non_zero_mask, :) = A(non_zero_mask, :) ./ row_norms(non_zero_mask);

% 零向量保持为零（或者你可以根据需求设为0或其他值）

行向量 vs 列向量的一致性

在 MATLAB 中，数据有时以行向量存储（如上面的例子），有时以列向量存储。如果意图计算矩阵 A 的列与矩阵 B 的列之间的相似度，你需要转置矩阵：

cosine_similarity = (A‘ ./ norm(A)) * (B ./ norm(B)‘);

或者更直观地，直接将代码中的 INLINECODE2e56b6fc（行求和）改为 INLINECODEc1d2c0ac（列求和）。理解你的数据布局是至关重要的。

性能优化建议

当处理海量数据（例如数百万行）时，内存和速度会成为瓶颈。

  • 数据类型：如果你的数据精度要求不是特别高，考虑使用 INLINECODE761e977e 而不是 INLINECODEd18a5510，这可以节省一半的内存并加速计算。
    •     A = single([1 2; 3 4]); % 转换为单精度浮点数
  • 稀疏矩阵：如果你的矩阵大部分是零（如文本的 TF-IDF 矩阵），务必使用 sparse 类型来存储矩阵。MATLAB 的矩阵乘法针对稀疏矩阵进行了深度优化。
  • 并行计算：如果你需要计算多个矩阵对之间的相似度，或者计算过程本身可以被拆分，可以考虑使用 parfor 来利用多核 CPU。

为什么余弦相似度如此重要？

在我们结束之前，让我们回顾一下为什么这个算法在你的工具箱中占有重要地位。

  • 幅度无关性：这是它最大的优势。假设你在分析用户购物行为。用户 A 买了 1 个苹果，用户 B 买了 10 个苹果。如果我们看数量，他们差异很大。但余弦相似度只关注他们都买了“苹果”这一事实。在文本分析中，长文档和短文档在词频上差异巨大，余弦相似度能有效消除这种文本长度带来的偏差。
  • 归一化的范围：结果总是落在 -1 到 1 之间。这使得我们可以设定一个通用的阈值（例如 0.8）来判断相似性，而无需考虑数据的原始尺度。
  • 鲁棒性：对于高维稀疏数据，欧几里得距离往往会失效（维度灾难），而余弦相似度依然能保持稳定的判别能力。

总结

在这篇文章中，我们系统地探索了在 MATLAB 中计算两个矩阵之间余弦相似度的方法。我们从基础的数学定义出发，学习了如何利用 INLINECODE0d3aa14e 函数进行手动归一化，进而掌握了更高效的 INLINECODEe2ac0418 和隐式扩展技巧。

我们不仅提供了完整的代码示例，还深入讨论了如何处理零向量、如何区分行列向量的计算，以及针对大数据的性能优化策略。余弦相似度虽然只是一个简单的数学公式，但它在模式识别、推荐系统和自然语言处理等领域却有着举足轻重的地位。

接下来你可以尝试：

  • 实战演练：试着找一组真实的文本数据（例如 20 Newsgroups 数据集），将其转换为词频矩阵，并使用我们今天学到的代码计算文档之间的相似度。
  • 自定义函数：将上面的逻辑封装成一个可复用的 MATLAB 函数 function [sim] = calcCosineSim(A, B)，方便在未来的项目中直接调用。
  • 可视化：尝试使用 heatmap 函数将计算出的相似度矩阵可视化，这能帮助你更直观地理解数据簇的分布。

希望这篇文章能帮助你更好地理解和应用 MATLAB 进行数据相似度分析。如果你在实践中有任何发现或疑问，欢迎继续探索这个强大工具的更多可能性。

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