在工程数学中，我们使用向量来表示同时具有大小和方向的物理量，例如位移和速度。通常情况下，这些向量会随着时间或其他变量的变化而改变。
向量微分的过程，就是求解向量函数关于标量变量（通常是时间）的导数。
如果 A、B 和 C 是关于标量 u 的可微向量函数，且 Φ 是关于 u 的可微标量函数，那么我们有以下运算规则：
- d/du (A + B ) = dA/du + dB/du
- d/du (A . B ) = A.dB/du + dA/du.B
- d/du (A x B ) = A x dB/du + dA/du x B
- d/du(𝛷𝐀) = 𝛷d𝐀/du + d𝛷/du A
- d/du (A . B x C ) = A .B x dC/du + A . dB/du x C + dA/du. B x C
- d/du(A x ( B x C)) = A x (B x dC/du + A . dB/du x C + dA/du x (B x C)‘
点积
点积给我们一个标量，它衡量了一个向量在另一个向量方向上的延伸程度（即投影大小）。
如果 \vec{A} 和 \vec{B} 是两个向量，那么：
> \vec{A} \cdot \vec{B} =
\,
\, \cos \theta
其中，
- θ – 它们之间的夹角
叉积
叉积生成一个垂直于两个向量所在平面的新向量。
如果 \vec{A} 和 \vec{B} 是两个向量，那么：
> \vec{A} \times \vec{B} =
\,
\, \sin \theta \, \hat{n}
其中，
- \hat{n} – 垂直于该平面的单位向量。
梯度
标量函数的梯度给出了其数值最大增长的方向和速率。
对于标量场 f(x, y, z)，
>
abla f = \frac{\partial f}{\partial x} \, \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \, \hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \, \hat{k}
它将一个标量函数转换为一个向量场，常用于热传导和势流问题中。
散度
散度用于衡量向量场从一个点向外发散的程度。
>
abla \cdot \vec{A} = \frac{\partial Ax}{\partial x} + \frac{\partial Ay}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}
它是一个标量，常用于流体流动和高斯定律中。
旋度
旋度衡量的是向量场的旋转或旋转强度。
>
abla \times \vec{A} =\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\Ax & Ay & A_z\end{vmatrix}
拉普拉斯算子
拉普拉斯算子给出了函数值从某一点扩散的速率。
对于标量 f(x,y,z)：
>
abla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
向量恒等式例题解析
问题 1： 求 f(x, y, z) = x2y + yz3 的梯度。
解答：
>
abla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{k}
>
> = (2xy) \hat{i} + (x^2 + z^3) \hat{j} + (3yz^2) \hat{k}
问题 2： 求 A = \vec{V} = xy \, \hat{i} + yz \, \hat{j} + zx \, \hat{k} 的散度。
解答：
> 散度定义为：
>
>
abla \cdot \vec{A} = \frac{\partial Ax}{\partial x} + \frac{\partial Ay}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}
>
> 识别分量：
>
> Ax = xy, Ay = yz, Az = zx
>
> 计算偏导数：
>
>
abla \cdot \vec{A} = = \frac{\partial Ax}{\partial x} + \frac{\partial Ay}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}
>
> 注意：Az = zx，所以 ∂A/z∂z = x
>
>
abla \cdot \vec{A} = y + z + x = x + y + z
问题 3: 求 \vec{A} = x^2\hat{i} + y^2\hat{j} + z^2\hat{k} 的旋度。
解答：
> 旋度定义为：
>
>
abla \times \vec{A} =\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\Ax & Ay & A_z\end{vmatrix}
>
> 展开行列式：
>
>
abla \times \vec{A} =\hat{i} \left( \frac{\partial Az}{\partial y} – \frac{\partial Ay}{\partial z} \right)- \hat{j} \left( \frac{\partial Az}{\partial x} – \frac{\partial Ax}{\partial z} \right)+ \hat{k} \left( \frac{\partial Ay}{\partial x} – \frac{\partial Ax}{\partial y} \right)
>
> 计算导数：
>
> \frac{\partial z^2}{\partial y} = 0, \frac{\partial y^2}{\partial z} = 0
>
> 所有分量相减结果均为 0
>
> ∇ × \overrightarrow{A} = 0
问题 4: 求 f(x,y,z) = x3 + y3+ z3 的拉普拉斯算子。
解答：
> 拉普拉斯算子定义为：
>
>
abla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
>
> 计算二阶导数：
>
> \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x, \quad\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y, \quad\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 6z
>
> 将它们相加：
>
> ∇2f = 6x + 6y + 6z
向量恒等式练习题
问题 1： 求标量场的梯度：f(x, y, z) = exysinz
问题 2： 计算标量场的拉普拉斯算子：f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2)。
问题 3: 计算向量场的散度：\vec{A}(x,y,z) = x^2 y \, \hat{i} + y z^2 \, \hat{j} + x z \, \hat{k}
问题 4：*