积分是微分的逆过程。它们也被称为反导数，用于计算那些我们尚无公式可用的任意图形的面积和体积。不定积分简单地计算函数的反导数，而定积分有积分限，通常表示曲线下的面积。微积分基本定理将积分法则与导数及链式法则联系了起来。它被用于解决积分中的难题。让我们来看看这个定理。
应用微积分基本定理
考虑一个函数 $f(x)$，它在给定区间 $[a, b]$ 上是连续且可微的。这些积分限之间的定积分表示为 $\int^{b}_{a}f(x)dx$。这被定义为函数 $f(x)$ 与 x 轴在 $x = a$ 和 $x = b$ 之间所围成的面积。通过改变上限，这个定积分可以转化为一个函数。这个函数可以重写为：
设 $F(x) = \int^{x}_{a}f(t)dt$。现在从几何上看，这个函数给了我们同一条曲线下的面积，但是从 $x = a$ 到 $x$，其中 $x$ 位于积分限的边界之间。下图展示了这个函数：
现在在 $x = a$ 处，$F(a) = \int^{a}_{a}f(t)dt$ \\ $= F(a) = 0$
微积分基本定理使我们能够计算给定函数的导数。
> 微积分基本定理 – 第一部分
>
> 对于一个在区间 $[a, b]$ 上连续且可微的函数 $f$，假设 $F(x) = \int^{x}_{a}f(t)dt$。那么，$F$ 是 $(a, b)$ 上的可微函数，并且
>
> $F‘(x) = f(x)$
这个定理看起来微不足道，但具有深远的影响。有一个函数 $f(x) = x^2 + sin(x)$，
给定 $F(x) = \int^{x}_{-5}t^2 + sin(t)dt$
根据上述提到的基本定理，
$\frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx}\int^{x}_{-5}(t^2 + sin(t))dt$ \\ $F‘(x) = x^2 + sin(x)$
这个定理可以用来推导一个流行的结果，
假设有一个定积分 $\int^{b}{a}f(t)dt$。此外，假设 $F(x) = \int^{x}{c}f(t)dt$。
$\int^{b}{a}f(t)dt$ \\ $= \int^{c}{a}f(t)dt + \int^{b}{c}f(t)dt$ \\ $= -\int^{a}{c}f(t)dx + \int^{b}_{c}f(t)dt$ \\ $= -F(a) + F(b)$ \\ $= F(b) – F(a)$
这是微积分基本定理的第二部分。
> 微积分基本定理 – 第二部分
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> 对于一个在区间 $[a, b]$ 上连续且可微的函数 $f$，设 $F$ 为给定函数的任意反导数。那么，
>
> $\int^{b}_{a}f(x)dx = F(b)- F(a)$
结合链式法则应用微积分基本定理
结合链式法则和微积分基本定理，我们可以解决定积分的难题。例如，
$\frac{d}{dx}(\int^{x^2}_{1}cos(t)dt)$
为了解决这类问题，我们需要一个更广义的基本定理版本。
> 对于一个连续的函数 $f$ 以及另外两个可微的函数 $g$ 和 $h$，
>
> $\frac{d}{dx}\int^{h(x)}_{g(x)}f(s)ds = \frac{d}{dx}[F(h(x)) – F(g(x))]$ \\ $= F‘(h(x))h‘(x) – F‘(g(x))g‘(x)$ \\ $= f((h(x))h‘(x) – f(g(x))g‘(x)$
让我们看一些与这些概念相关的例题。
示例问题
问题 1：给定以下函数 F(x)，计算其导数。
$F(x) = \int_{0}^{x}cos(t)dt$
解决方案：
> 给定：$F(x) = \int_{0}^{x}cos(t)dt$
>
> $\frac{d}{dx}(F(x)) = \frac{d}{dx}(\int_{0}^{x}cos(t)dt)$
>
> 这可以使用微积分基本定理第一部分来解决
>
> $\frac{d}{dx}(F(x)) = \frac{d}{dx}(\int_{0}^{x}cos(t)dt)$ \\ $= F‘(x) = cos(x)$
问题 2：给定以下函数 F(x)，计算其导数。
$F(x) = \int_{0}^{x}(e^t + e^{-t})dt$
解决方案：
> 给定：$F(x) = \int_{0}^{x}(e^x + e^{-x})dt$
>
> $\frac{d}{dx}(F(x)) = \frac{d}{dx}(\int_{0}^{x}(e^t + e^{-t})dt)$
>
> 这可以使用微积分基本定理第一部分来解决
>
> $\frac{d}{dx}(F(x)) = \frac{d}{dx}(\int_{0}^{x}(e^t + e^{-t})dt)$ \\ $F(x) = e^x + e^{-x}$
问题 3：给定以下函数 F(x)，计算其导数。
$F(x) = \int_{0}^{x^2}e^tdt$
解决方案：
> 给定：$F(x) = \int_{0}^{x^2}e^tdt$
>
> $\frac{d}{dx}(F(x)) = \frac{d}{dx}(\int_{0}^{x^2}e^tdt)$
>
> 这可以使用微积分基本定理第一部分的广义形式来解决。它指出，
>
> $\frac{d}{dx}\int^{h(x)}_{g(x)}f(s)ds = \frac{d}{dx}[F(h(x)) – F(g(x))]$ \\ $= F‘(h(x))h‘(x) – F‘(g(x))g‘(x)$ \\ $= f((h(x))h‘(x) – f(g(x))g‘(x)$
>
> 这里，$f(t) = e^t$，$h(x) = x^2$ 且 $g(x) = 0$
>
> $\frac{d}{dx}(\int^{x^2}0e^tdt= e^{(h(x)}h‘(x) – e^{g(x)}g‘(x)$ \\ $= \frac{d}{dx}(\int^{x^2}0e^tdt = e^{x^2}(2x) – e^{0}(0)$ \\ $= \frac{d}{dx}(\int^{x^2}_0e^tdt) = 2xe^{x^2}$
问题 4：给定以下函数 F(x)，计算其导数。
$F(x) = \int$