线性微分方程是指未知函数及其导数以线性形式出现的微分方程。换句话说，该方程是函数及其导数的线性组合，且具有常系数。这类方程的解可以表示为特解和对应齐次方程解之和。
!Linear-Differential-Equation关于 y 与关于 x 的线性微分方程
1) 形如 dy/dx + Py = Q 的方程，被称为一阶微分方程。
其中：P 和 Q 可以是常数，也可以是 x 的函数。
2) 形如 d2y/dx2 + Pdy/dx + Qy = R 的方程，被称为二阶微分方程。
其中：P、Q 和 R 是 x 的函数。
线性微分方程示例
- dy/dy +3y = x
- x log x dy/dx + y = ex
- dx/dy = sin y + x
线性微分方程的阶
线性微分方程的阶由方程中出现的最高阶导数决定。
- 一阶线性微分方程仅包含一阶导数：dy/dx + Py = Q。
- 二阶线性微分方程包含二阶导数：d2y/dx2 + Pdy/dx + Qy = R。
- 依此类推，n 阶线性微分方程包含方程中的 n 阶导数，
> andny/dxn + an-1dn-1y/dxn-1 + . . . + a1 dy/dx + a0y = f(x),
其中
- n – 线性微分方程的阶数。
线性微分方程通解的公式
线性常微分方程（ODE）通解的公式取决于所给方程的阶数和性质。一阶方程以及二阶方程在不同情况下的公式如下所示：
一阶线性 ODE 的公式
对于任何形如 \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中 P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。我们可以使用以下公式求得该方程的通解：
> y(x) = \frac{1}{\text{I.F.}} \left( \int Q(x) \cdot \text{I.F.} \, dx + C \right)
其中
- C – 积分常数， I.F. (积分因子) = e∫P(x)dx。
二阶线性 ODE 的公式
对于任何形如 \frac{d^2y}{dx^2} + P(x) \frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) 的二阶线性常微分方程，其中 P(x)、Q(x) 和 R(x) 是 x 的函数。该方程的通解取决于其对应的特征方程根的性质。
通解
—
y(x) = C1 e^{r1x} + C2 e^{r2x}
y(x) = (C1 + C2 x) e^{r1x}
y(x) = e^{\alpha x} \left( C1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right)其中：
- r1 和 r2 是特征方程的根。
- α 和 β 分别是共轭复根的实部和虚部。
- C1 和 C2 是由初始条件确定的任意常数。
一阶线性微分方程
一阶微分方程仅包含未知函数的一阶导数。
一阶线性微分方程的一般形式是，
> dy/dx +Py = Q
其中 P 和 Q 可以是常数，也可以是 x 的函数。
线性微分方程示例
- dx/dy + yx = 1
- dx/dy = tan y – x
如何求解一阶线性微分方程？
让我们考虑如下一阶线性微分方程：
> dy/dx + Py = Q . . . . . . (1)
>
> 其中 P 和 Q 是常数或 x 的函数。
>
> 现在，让我们假设一个关于 x 的函数，记为 f(x)。
>
> 将方程 (1) 的两边同时乘以函数 f(x)，我们得到
>
> f(x)⋅dy/dx + P⋅f(x)⋅y = Q⋅f(x) . . . . . . (2)
>
> 我们将以这样的方式选择函数 f(x)，使得方程 (2) 的右边变成 f(x)⋅y 的导数。
>
> f(x)⋅dy/dx + P⋅f(x)⋅y = d/dx[f(x)⋅y]
>
> 对其进行简化，我们得到
>
> f(x)dy/dx + Pf(x)y = f(x)dy/dx + yf‘(x)
>
> ⇒ Pf(x)y = yf‘(x)
> ⇒ Pf(x) = f‘(x)
> ⇒ P = f‘(x)/f(x)
>
> 现在，对两边关于 x 进行积分，我们得到
>
> ∫P⋅dx = ∫ [f‘(x)/f(x)] dx
> ∫P⋅dx = log (f(x))
>
> 对两边取指数，我们得到
>
> e∫P⋅dx = elog (f(x))
> ⇒ e∫P⋅dx = f(x) [因为 elog x = x]
>
> 这个函数 f(x) = e∫P⋅dx 被称为给定线性微分方程的积分因子。它通常用 I.F. 来表示。
>
> 所以，I.F = e∫P⋅dx
>
> 现在，将线性微分方程 (1) 的两边同时乘以积分因子 I.F，我们得到
>