在复分析中，莫比乌斯变换（也称为分式线性变换）是一类特殊的函数，它将扩展复平面（包含无穷远点）映射到其自身。这些变换在共形映射、几何学以及数学和物理的各种应用中发挥着基础性的作用。
莫比乌斯变换的定义如下：
> w = f(z) = \frac{az + d}{cz + b}
其中
- a, b, c, d 是复数，且满足 ad − bc ≠ 0。
定义域和值域
- 该变换作用于扩展复平面（也称为黎曼球面），记作：
> C∞ = C∪{∞}.
- 它将复平面内的点以及可能的 ∞ 映射如下：
- 如果 z = −d/c，则分母为零 ⇒ w = ∞
- 如果 z = ∞，则 w=a/c （当 c ≠ 0）
莫比乌斯变换的性质
让我们来看一些它的重要性质：
单射与满射性质：
扩展复平面上的每一个点在变换下都有唯一的像。因此，莫比乌斯变换在 \mathbb{C}_\infty 上是双射。
保圆性与保直性：
莫比乌斯变换会将 z 平面内的每一个圆或直线映射为 w 平面内的另一个圆或直线。
共形（保角）性质：
莫比乌斯变换是共形映射。它们保持相交曲线之间夹角的大小和方向不变，但在导数 f′(z) = 0 的点除外。
交比不变性：
四个不同的点的 交比 在变换下保持不变。
如果 z1, z2, z3, z4 映射到 w1, w2, w3,w4，那么
> \frac{(w1 – w3)(w2 – w4)}{(w1 – w4)(w2 – w3)} = \frac{(z1 – z3)(z2 – z4)}{(z1 – z4)(z2 – z3)}.
这一性质被广泛用于解决变换问题。
复合性质：
两个莫比乌斯变换的复合仍然是莫比乌斯变换。因此，所有莫比乌斯变换的集合在复合运算下构成一个群。
不动点：
莫比乌斯变换的不动点是指在变换下保持不变的点，即 f(z) = z。
求解 z = az + b/ cz + b，我们可以得到二次方程：
> cz2+ (d − a)z − b = 0.
因此，一个莫比乌斯变换可以有两个、一个或没有不动点。
行列式条件：
为了使变换有效且可逆，行列式必须满足：ad − bc ≠ 0。
将所有系数乘以同一个非零常数 k 不会改变变换：
> \frac{az + b}{cz + d} = \frac{k(az + b)}{k(cz + d)}.
莫比乌斯变换例题详解
让我们通过一些例题来加深理解。
问题 1： 找出 f(z) = \frac{z + 2}{2z + 3} 的不动点。
解答：
> 设 f(z) = z
>
> z= \frac{z + 2}{2z + 3}
>
> 交叉相乘
>
> z(2z + 3) = z + 2
> 2z2+ 3z = z + 2
> 2z2 + 3z − z − 2 = 0
> 2z2 + 2z − 2 = 0
>
> 除以 2
>
> z2 + z − 1 = 0
>
> 使用求根公式
>
> z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
问题 2： 考虑莫比乌斯变换 f(z)=\frac{2z+1}{z+2}。请将 f 分类为椭圆型、抛物型或双曲型（并说明理由）。
解答：
> f(z)=\frac{2z+1}{z+2}.
>
> f′(z) = \frac{2(z + 2)- (2z+1)(1) }{ (z + 2)^{2}}
>
> = \frac{2z+4 – 2z -1}{(z+2)^2}
>
> = \frac{3}{(z+2)^2}.
>
> 在不动点处求值：
>
> – 在 z = 1 处: f‘(1) = \frac{3}{(1 + 2)^{2}} = 3/9 = 1/3
> – 在 z = -1 处: f‘(-1) = \frac{3}{(-1+2)^2} = 3/1 = 3
>
> 因此，这两个不动点处的乘数分别为 1/3 和 3。一个具有两个不同的不动点，且乘数为实数且不等于 1 的莫比乌斯变换是双曲型的（它在同一条不变轴上有一个吸引性不动点和一个排斥性不动点）。
问题 3： 证明 f(z) = \frac{2z + 3}{z + 1} 在 \widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\} 上是双射，并求其逆变换。
解答：
> 为了求逆变换，设 w = \frac{2z+3}{z+1} 并解出 z：
>
> w(z + 1) = 2z + 3 ⇒ wz + w = 2z + 3.
>
> (w − 2)z = 3 − w ⇒ z = \frac{3 – w}{w – 2}.
>
> 因此，当 w ≠ 2 时，f−1(w) = \frac{3 – w}{w – 2}。此外，检查 f( −1) = ∞ 且 f(∞) = 2，说明逆变换能正确处理 ∞。这个有理逆变换的存在表明 f 在 \widehat{\mathbb C} 上是双射。
问题 4： 验证 f(z)=\dfrac{z-1}{z+1} 在 z = 2 处是共形的，方法是计算 f′(2) 并证明其非零。
解答：
> 计算导数：
>
> f(z)=\dfrac{z-1}{z+1}
>
> = \frac{(1)(z+1) – (z-1)(1)}{(z+1)^2}
>
> = \frac{z+1 – z + 1}{(z+1)^2}
>
> = \frac{2}{(z+1)^2}.
>
> 因此 f′(2) = 2/9 ≠ 0。由于导数非零，f 在 z = 2 处是共形（保角）的。（如果 f′(z0) = 0，则映射在 z0 处不共形）
莫比乌斯变换练习题
现在轮到你来试一试了。
问题 1： 找出 f(z) = \frac{5z – 2}{2z + 3} 的不动点。
问题 2： 考虑莫比乌斯变换 f(z) = \frac{az+b}{cz+d}。如果 a, b, c, d 是实数且 ad – bc = 1，证明 f 将上半平面映射到上半平面当且仅当 a, b, c, d 满足特定条件（提示：考虑实轴上的点和 f 在无穷远点的行为）。