最小公倍数（LCM）的性质能帮助我们简化复杂的计算，并揭示数字之间是如何相互作用的。从它与素数的互动方式到它与零的关系，这些性质构成了解决广泛数学问题的基础。
最小公倍数有多种性质，包括交换律、结合律、分配律等，学习这些对于掌握最小公倍数至关重要。
交换律
数字的顺序不会影响最小公倍数的结果。
> LCM(a, b) = LCM(b, a)
示例： LCM(3, 13) = 39 且 LCM(13, 3) = 39
结合律
最小公倍数满足结合律，这意味着在求多个数字的最小公倍数时，数字的分组方式不会影响最终结果。
> LCM(a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c) = LCM(a, LCM(b, c))
示例： LCM(10, 5, 7) = LCM (LCM (10, 5), 7) = LCM(10, LCM(5, 7))
解题过程：
> 1. LCM(10, 5, 7) = 70 ….. (i)
>
> 2. 使用 (LCM(10, 5), 7) 计算 LCM：
> LCM(10, 5) = 10，然后 LCM(10, 7) = 70 ….. (ii)
>
> 3. 使用 LCM(10, LCM(5, 7)) 计算 LCM：
> LCM(5, 7) = 35，然后 LCM(10, 35) = 70 ….. (iii)
>
> 从 (i)、(ii) 和 (iii) 的结果可以看出，
> 因此，LCM(10, 5, 7) 在所有情况下都等于 70，这验证了结合律。
分配律
最小公倍数支持分配律，遵循以下规则：
> LCM(da, db, dc) = d × LCM(a, b, c)
示例： LCM(8, 12, 16)
解题过程：
> LCM(8, 12, 16) = 48
>
> 8 = 4 × 2
> 12 = 6 × 2
> 16 = 8 × 2
>
> 使用分配律：
> LCM (8, 12, 16) = LCM (4 × 2, 6 × 2, 8 × 2)
> LCM (4 × 2, 6 × 2, 8 × 2) = 2 × LCM (4, 6, 8)
> 48 = 2 × 24
>
> 因此，分配律得到了验证，即 LCM (da, db, dc) = d × LCM (a, b, c)。
幂等性
一个数与其自身的最小公倍数就是它本身。
> LCM(a, a) = a
示例： LCM(7, 7) = 7
素数的最小公倍数
两个不同素数的最小公倍数是它们的乘积。
> LCM(p, q) = p × q （其中 p 和 q 是素数）。
示例： LCM(5, 7) = 35
注意： 如果两个数字是互质的（即它们的最大公约数 GCD 为 1），那么它们的最小公倍数也是这两个数的乘积。示例： LCM(20, 27) = 20 × 27 = 540
一个数及其倍数的最小公倍数
当两个数中，其中一个数是另一个数的倍数时，它们的最小公倍数始终等于那个较大的数。
> LCM(p, q) = q （其中 q 是 p 的倍数）。
示例： LCM(25, 75) = 75，因为 75 是 25 的倍数。
延伸阅读： 关于最小公倍数的有趣事实
LCM 与 GCD 的关系
两个数的最小公倍数和最大公约数（GCD）的乘积，等于这两个数本身的乘积。
> LCM(a, b) ⋅ GCD(a, b) = a ⋅ b
示例： LCM(12, 15) ⋅ GCD(12, 15) = 12 ⋅ 15
- LCM(12, 15) = 60, GCD(12, 15) = 3, 且 60 ⋅ 3 = 180 = 12 ⋅ 15
0 的最小公倍数
任何数与 0 的最小公倍数是未定义的，因为每个数都是 0 的倍数，这会导致倍数集合是无限的。
> LCM(n, 0) = undefined
示例： LCM(0, 6) = undefined
一个数与 1 的最小公倍数
任何数与 1 的最小公倍数是它本身。
> LCM(n, 1) = n
示例： LCM(12, 1) = 12
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