割线法 (Secant Method) 是一种递归算法，我们通过逐次逼近来寻找多项式的根。
- 在这种方法中，我们利用函数 f(x) 的割线（一条与曲线相交于两个不同点的直线）来逼近根附近的邻域。
- 它与 试位法 类似，但在每次逼近后，我们不需要反复检查 f(x1)f(x2) < 0 这一条件。
- 我们不需要像在 牛顿-拉夫逊法 中那样对给定的函数 f(x) 进行求导。
割线是一条与曲线相交于两个不同点的直线。在微积分的语境下，割线可以用来近似曲线在这两点之间的斜率。割线的斜率计算公式为两点之间 y 值的变化量除以 x 值的变化量。
对于一个函数 f(x)，穿过点 (x0, f(x0)) 和 (x1, f(x1)) 的割线方程为：
割线的斜率 = \frac{f(x1) – f(x0)}{x1 – x0}
割线法公式推导
现在，让我们来推导割线法的公式。通过两点的割线方程为：
Y – Y{1} = m(X – X{1})
这里，m 代表斜率。
因此，我们将其应用于 (x1, f(x1)) 和 (x0, f(x0)) 两点。
割线的斜率 = \frac{f(x1) – f(x0)}{x1 – x0}
Y – f(x1) = [f(x0)-f(x1)/(x0-x1)] (x-x1) 方程 (1)
因为我们正在寻找函数 f(x) 的根，所以在方程 (1) 中令 Y= f(x) = 0，割线与 x 轴相交的点为：
x = x1 – [(x0 – x1)/ (f(x0) – f(x1)]f(x1)。
我们利用上述结果对函数 f(x) 的根进行逐次逼近。假设第一次近似值为 x=x2:
x2 = x1 – [(x0 – x1)/ (f(x0)-f(x1))]f(x1)
同理，第二次近似值将是 x =x3:
x3 = x2 – [(x1-x2)/ (f(x1)-f(x2))]f(x2)
依此类推，直到第 k 次迭代：
> x{k+1}= x{k} – [\frac{(x{k-1} – x{k})} { (f(x{k-1}) – f(xk))}]f(x_k)
注意： 要开始求解函数 f(x)，我们需要两个初始猜测值，使得 f(x0) < 0 且 f(x1) > 0。 通常题目会要求我们找到满足 f(x) = 0 的多项式根。大多数情况下，问题只要求我们求出 f(x) 的根，精确到小数点后两位、三位或四位。
割线法的收敛性
如果起始点 x0 和 x1 足够接近实际的根，并且函数表现良好，割线法将找到函数 f 的根。如果函数是平滑的且具有单根（即根只出现一次），该方法会以与黄金比例相关的收敛速度收敛于根：
\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618
这意味着该方法改进得很快，但不像某些其他方法那样快。
然而，如果起始点离根较远，或者函数不够平滑，则无法保证该方法有效。该方法是否收敛取决于起始点之间区间内函数的“波动”程度。例如，如果函数的导数在区间内的某点为零，割线法可能会收敛失败。
与其他求根方法的比较
与二分法不同，割线法不能保证根始终留在有界的区间内，这可能导致它不总是收敛。试位法（false position method）与割线法类似，但总是收敛，尽管速度较慢，呈线性收敛率。通过改进试位法，例如使用 ITP 方法或 Illinois 方法，我们可以实现超线性收敛。
割线法近似了牛顿法中使用的导数。虽然牛顿法的收敛速度更快（2阶），但它在每一步都需要函数及其导数的值。割线法只需要函数值，这使得它在实践中更快，特别是当计算导数的成本很高时。在高维情况下，牛顿法的开销可能比割线法更大。
割线法的优点：
- 割线法的收敛速度比二分法和 试位法.) 更快。
- 它利用两个最新的根近似值来寻找新的近似值。