深入理解 Floyd 循环检测算法（快慢指针）：原理、实现与优化

2026-02-15 11:18:17 0条评论 2次阅读 0人点赞

作为一名开发者，我们在处理链表相关的算法题或系统设计时，经常会遇到一个经典且棘手的问题：如何高效地检测链表中是否存在环？

如果链表中存在环，我们的遍历操作可能会陷入无限循环，导致程序崩溃或资源耗尽。虽然我们可以使用哈希表来记录访问过的节点，但这通常需要额外的存储空间。今天，我们将深入探讨一种巧妙且高效的解决方案——Floyd 循环检测算法，或者更通俗地称之为“快慢指针算法”。

这篇文章将带你从零开始理解这一算法的核心思想，掌握其背后的数学原理，并学会如何编写优雅的代码来解决实际问题。你还将了解到如何利用这一技术找到环的起始节点，甚至将其应用于寻找链表中点等更多场景。

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核心概念：什么是快慢指针算法？

Floyd 循环检测算法的核心思想非常直观，就像我们在生活中经常见到的场景一样。想象一下，你在操场上跑步，如果有一个跑得快的人和一个跑得慢的人朝同一个方向出发，跑道是直线的，快的人肯定会先到终点，两人永远不会再次相遇。

但是，如果跑道是环形的（有环），快的人最终会在某一圈“套圈”慢的人，也就是说，快的人会再次追上慢的人。

在计算机科学中，我们把这个生活智慧应用到了链表遍历上：

  • 两个指针：我们使用两个指针在链表中移动。
  • 速度差异：慢指针 每次移动一步（INLINECODE3769f67e），而 快指针 每次移动两步（INLINECODE8e424081）。
  • 判断逻辑：

* 如果快指针到达了链表的末尾（即遇到了 null），说明链表没有环，这是一条直线。

* 如果快指针在某个时刻与慢指针相遇（指向了同一个节点），说明链表中存在环，快指针在环内“套圈”了慢指针。

这种方法的最大优势在于它不需要额外的内存空间，空间复杂度仅为 O(1)，时间复杂度也控制在 O(N)，是处理此类问题的最优解。

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实战演练：检测链表中的环

让我们先来看看最基础的代码实现。我们将定义一个简单的链表节点类，然后编写检测逻辑。

#### 代码示例 1：基础循环检测

// 定义链表节点
class ListNode {
    int val;
    ListNode next;
    ListNode(int x) {
        val = x;
        next = null;
    }
}

public class Solution {
    // 主检测函数
    public boolean hasCycle(ListNode head) {
        // 边界条件检查：如果链表为空或只有一个节点，肯定没有环
        if (head == null || head.next == null) {
            return false;
        }

        // 初始化快慢指针，都从头部出发
        ListNode slow = head;
        ListNode fast = head;

        // 开始遍历
        // 只需要判断 fast 和 fast.next 是否为空即可
        // 因为 fast 移动得快，如果 fast 能到终点，slow 肯定没问题
        while (fast != null && fast.next != null) {
            // 慢指针走一步
            slow = slow.next;
            // 快指针走两步
            fast = fast.next.next;

            // 关键判断：如果两者相遇，说明有环
            if (slow == fast) {
                return true;
            }
        }

        // 如果 fast 到了 null，说明没有环
        return false;
    }
}

#### 代码解析

  • 初始化：我们首先处理链表为空或只有一个节点的情况，直接返回 INLINECODE9c9288b0，因为一个节点无法形成环（除非它指向自己，这需要特殊判断，但通常逻辑下 INLINECODEd9920db9 为空会处理掉）。
  • 循环条件：INLINECODE1d6a3fbb 是为了防止空指针异常。因为 INLINECODE0fa4b526 要走两步，所以它和它的下一个节点都不能为空。
  • 移动与判断：在循环内部，我们先移动指针，再判断是否相遇。这个顺序非常重要，确保我们在移动后比较位置。

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深入剖析：为什么它一定有效？（算法原理）

仅仅知道“怎么做”是不够的，作为专业的开发者，我们需要理解“为什么这么做一定对”。让我们来拆解一下背后的逻辑。

#### 情况一：无环链表

如果链表没有环，它就像一条直线。快指针的速度是慢指针的两倍。快指针会先到达链表末尾。当 INLINECODEe9ee6c58 或 INLINECODE6e2e583e 变为 INLINECODE884d5a6b 时，循环终止。在这种情况下，INLINECODE82bae08d 永远追不上 INLINECODE3abb89c7，因为 INLINECODEd95634f4 已经“跑”出去了。逻辑成立。

#### 情况二：有环链表

这是最有趣的部分。让我们假设环的长度为 $C$，链表头部到环入口的距离为 $F$，在慢指针刚进入环的那一刻，快指针在环内的位置距离慢指针 $D$ 步（注意：$0 \le D < C$）。此时，两者的距离为 $D$。

在每一次迭代中：

  • 慢指针向前移动 1 步。
  • 快指针向前移动 2 步。
  • 因此，两者之间的相对距离会增加 $2 – 1 = 1$ 步。

这意味着，每一次迭代，快指针相对于慢指针的距离就缩短 1 步（或者说快指针离追上慢指针更近了 1 步）。

  • 第 1 次移动：距离变为 $D – 1$。
  • 第 2 次移动：距离变为 $D – 2$。
  • …
  • 第 $D$ 次移动：距离变为 $D – D = 0$。

结论：只要快慢指针都在环里，且速度差为 1，快指针必然会在最多 $C$ 次移动内追上慢指针。这就好比在环形跑场上，跑得快的人迟早会追上跑得慢的人。

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进阶应用：寻找环的起始节点

仅仅知道有环是不够的，很多时候我们需要找到环的入口节点在哪里。这是 LeetCode 上的一道经典题目（Linked List Cycle II）。我们依然可以使用 Floyd 算法的思想，但需要增加一个额外的步骤。

#### 步骤说明

  • 相遇：首先利用上述的快慢指针法，找到快慢指针相遇的节点（Meeting Node）。
  • 重置：当一个指针相遇后，我们将其中一个指针（比如慢指针）重置回到链表的头部（head）。
  • 同速移动：让快指针留在相遇点，然后两个指针以相同的速度（每次都走一步）开始移动。
  • 再次相遇：神奇的事情发生了，当它们再次相遇的那个节点，就是环的起始节点。

#### 为什么这能找到入口？

让我们用数学公式来推导一下，这会让你的理解更加深刻。

设：

  • $F$ = 链表头到环入口的距离
  • $C$ = 环的长度
  • $a$ = 环入口到快慢指针相遇点的距离
  • $b$ = 相遇点到环入口的距离（沿环的方向），即 $C = a + b$

当慢指针进入环时，快指针已经在环里走了很久。

  • 慢指针走的距离：$S_{slow} = F + a$
  • 快指针走的距离：$S_{fast} = F + a + k \cdot C$（其中 $k$ 是快指针在环里转的圈数，$k \ge 1$）

因为快指针的速度是慢指针的两倍，所以总距离也是两倍：

$$S{fast} = 2 \cdot S{slow}$$

代入公式：

$$F + a + kC = 2(F + a)$$

$$F + a + kC = 2F + 2a$$

$$kC = F + a$$

$$F = kC – a$$

因为 $C = a + b$，所以我们可以把 $a$ 替换掉：

$$F = kC – a$$

$$F = (k-1)C + (C – a)$$

$$F = (k-1)C + b$$

这个公式 $F = (k-1)C + b$ 告诉我们：

从链表头到入口的距离 $F$，等于从相遇点继续走 $b$ 步（加上若干整圈 $k-1$）回到入口的距离。

这就是为什么当我们把一个指针放回头部，另一个指针留在相遇点，两者同时一步一步走时，它们最终会在环的入口相遇。一个走了 $F$ 步，另一个走了 $b$ 步（可能在转圈），但最终汇合点正是入口。

#### 代码示例 2：寻找环的入口

public class Solution {
    public ListNode detectCycle(ListNode head) {
        if (head == null || head.next == null) {
            return null;
        }

        ListNode slow = head;
        ListNode fast = head;
        boolean hasCycle = false;

        // 第一阶段：寻找相遇点
        while (fast != null && fast.next != null) {
            slow = slow.next;
            fast = fast.next.next;
            if (slow == fast) {
                hasCycle = true;
                break;
            }
        }

        // 如果没有环，直接返回 null
        if (!hasCycle) {
            return null;
        }

        // 第二阶段：寻找入口
        // 将 slow 重置到头部
        slow = head;
        
        // fast 留在原地（相遇点）
        // 现在两者同速移动（每次一步）
        while (slow != fast) {
            slow = slow.next;
            fast = fast.next;
        }

        // 相遇点即为入口
        return slow;
    }
}

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更多应用场景：寻找链表中点

快慢指针思想的应用不仅仅局限于检测环。利用“一快一慢”的特性，我们还能非常优雅地解决另一个常见问题：寻找链表的中间节点。

如果快指针的速度是慢指针的两倍，那么当快指针到达链表末尾时，慢指针刚好走了快指针一半的路程，也就是正好处于链表的中间。

#### 代码示例 3：寻找中点

public class Solution {
    // 返回链表的中间节点，如果有两个中间节点，返回第二个
    public ListNode findMiddle(ListNode head) {
        if (head == null) {
            return null;
        }

        ListNode slow = head;
        ListNode fast = head;

        // 循环条件需要注意：
        // 当 fast.next 为空时，说明 fast 是最后一个节点（奇数个节点），slow 刚好在中间
        // 当 fast 为空时，说明 fast 走到了末尾之后（偶数个节点），slow 刚好在偏右的中间
        while (fast != null && fast.next != null) {
            slow = slow.next;
            fast = fast.next.next;
        }

        return slow;
    }
}

这个技巧在归并排序链表时非常有用，我们需要找到中点将链表断开，然后递归排序。

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常见错误与最佳实践

虽然这个算法看起来很简单，但在实际编码和面试中，开发者往往容易犯以下几个错误：

  • 死循环风险：

* 错误：在寻找入口的阶段，如果忘记将快指针或慢指针重置，或者速度不一致，就会导致死循环。

* 修正：严格遵守算法的第二阶段，确保两个指针速度都是 1。

  • 空指针异常：

* 错误：循环条件写成了 INLINECODEdd799011，而没有判断 INLINECODE20f89aee 本身。如果链表只有两个节点，快指针走两步后直接变成了 INLINECODE2e3ea799，此时访问 INLINECODE911b829d 就会报错。

* 修正：标准写法始终是 INLINECODE7dbcecee。因为 INLINECODE955cf300 走得快，只要 INLINECODE75a772a1 能走，INLINECODEd7e12e58 就能走。

  • 起始位置混淆：

* 有些文章建议 INLINECODE7853bd00 从 INLINECODE7b4f6efb 开始。虽然这样做也可以检测环（为了避免头节点就是自身环的特殊情况），但在计算环入口时，公式推导会变得复杂。最佳实践是让两者都从 head 出发。

  • 性能优化建议：

* 虽然 Floyd 算法是 O(N)，但在极少数对性能极度敏感的场景下（如超长链表），如果内存非常充足，哈希表法（HashSet）在遍历时可以提前退出（一旦发现重复），而 Floyd 算法必须等到相遇。但通常情况下，O(1) 的空间优势使得 Floyd 算法是首选。

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总结

在这篇文章中，我们深入探讨了 Floyd 循环检测算法，从最初的概念理解到数学证明，再到具体的代码实现。

让我们回顾一下关键点：

  • 核心思想：利用快慢指针在无环链表中的“分离”特性，和在有环链表中的“必然相遇”特性。
  • 算法优势：仅需 O(1) 的额外空间，无需哈希表等辅助数据结构。
  • 扩展应用：不仅能检测环，还能通过数学推导找到环的入口，甚至用于寻找链表中点。

掌握这一算法不仅是通过面试的利器，更是我们在处理链表数据结构时必须具备的内功心法。希望这篇文章能帮助你彻底理解快慢指针的精髓。下次当你遇到链表问题时，不妨先问问自己：“能不能用快慢指针来解决？”

保持好奇，继续编码！

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