在你的编程或数学学习之旅中，你肯定遇到过需要处理数字关系的场景。今天，我们将一起深入探讨一个非常经典且具有代表性的问题：如何求解 24 和 36 的最小公倍数（LCM）？
这不仅是一个基础的数学练习，更是理解算法逻辑、优化代码性能以及处理并发任务调度等实际编程问题的重要基石。在接下来的文章中，我们将不仅找出答案是 72，更重要的是，我们将通过质因数分解法、列举倍数法、长除法以及编程实现等多种手段，全方位地拆解这一过程。你将看到，一个简单的数学概念背后，隐藏着多么严密的逻辑之美。
什么是最小公倍数 (LCM)？
在深入代码和复杂计算之前，让我们先确保我们对核心概念的理解是一致的。
最小公倍数 是指能够被一组整数中的每一个整除的最小的正整数。简单来说，如果我们有两个数字 A 和 B，LCM 就是那个既能被 A 整除，又能被 B 整除的“最小的那个数”。
为了让你更直观地理解，让我们先看一个简单的例子：数字 2 和 5。
- 2 的倍数：2, 4, 6, 8, 10, 12…
- 5 的倍数：5, 10, 15, 20…
在这两列数字中，你是否发现了一个共同出现的数字？是的，10。它是第一个同时出现在两列中的数字，因此 10 就是 2 和 5 的最小公倍数。
对于 24 和 36 来说，逻辑也是完全一样的。我们需要找到那个“最小的舞台”，能同时容纳下 24 和 36 这两个“演员”。
> 核心结论：24 和 36 的最小公倍数是 72
这意味着，72 是同时是 24 和 36 的倍数的最小数字。
方法一：列举倍数法（直观法）
这是最原始、最直观的方法，虽然对于大数字效率不高，但对于理解概念非常有帮助。让我们像侦探一样，一步步通过排查找到答案。
步骤如下：
- 步骤 1： 列出 24 和 36 的前几个倍数。
- 步骤 2： 观察并标记出两个列表中共同的数字（公倍数）。
- 步骤 3： 在这些公倍数中，找出最小的一个。
让我们实际操作一下：
- 24 的倍数：24, 48, 72, 96, 120…
- 36 的倍数：36, 72, 108, 144, 180…
分析：
仔细观察上面的列表，我们可以看到，72 是第一个同时出现在两个列表中的数字。
结论：
因此，LCM(24, 36) = 72。
这种方法虽然简单，但在计算机科学中，我们通常需要更高效的算法，特别是当数字变得非常大时。这就引出了我们的下一种方法。
方法二：质因数分解法（数学家的首选）
如果你想在面试中展现出色的算法思维，或者想编写高效的程序，质因数分解法是你的不二之选。它将数字拆解为最基本的构建块——质数。
步骤如下：
- 步骤 1： 将每个数字分解为其质因数的乘积。
- 步骤 2： 找出所有出现的质因数，对于每个质因数，选择它在任何数字中出现的最高次幂。
- 步骤 3： 将这些选出的质因数相乘，结果就是 LCM。
让我们对 24 和 36 进行拆解：
- 分解 24：
24 可以被 2 整除，得到 12。
12 可以被 2 整除，得到 6。
6 可以被 2 整除，得到 3。
3 是质数。
所以，24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3¹
- 分解 36：
36 可以被 2 整除，得到 18。
18 可以被 2 整除，得到 9。
9 可以被 3 整除，得到 3。
3 是质数。
所以，36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
计算 LCM：
现在，我们取每个质数的最高次幂：
- 质数 2 的最高次幂是 2³ (来自 24)。
- 质数 3 的最高次幂是 3² (来自 36)。
LCM (24, 36) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72。
方法三：长除法（通用的算法流程）
长除法（也称为公共除法法）非常适合将求解过程转化为循环代码。它的核心思想是不断地寻找公因数。
步骤如下：
- 步骤 1： 用一个能同时整除这两个数的最小质数（通常是 2）去除它们。
- 步骤 2： 如果某个数不能被整除，就直接把它抄写到下一行。
- 步骤 3： 重复这个过程，直到最后一行的所有数字都变成 1。
- 步骤 4： 将所有的除数相乘，积就是最小公倍数。
操作过程演示：
我们以 24 和 36 为例：
- 第一轮：都能被 2 整除。商为 12 和 18。
- 第二轮：还能被 2 整除。商为 6 和 9。
- 第三轮：6 和 9。6 不能被 3 整除，只能被 2 整除；9 能被 3 整除。这里我们找公共除数。为了优化，我们可以同时除以 3，因为 6 和 9 有公因数 3。商为 2 和 3。
(注：更严谨的长除法步骤是先除以2，再除以2，最后除以3)
修正后的长除法路径：
2 | 24, 36
–|——
2 | 12, 18
–|——
3 | 6, 9
–|——
2, 3
现在，左边所有的除数是 2, 2, 3。且最后一行只剩下互质的数 2 和 3（这里需要注意，标准的 LCM 长除法是除到互质为止，最后还要乘上剩下的互质数，或者一直除到全部为1。如果是除到全部为1，则步骤如下：）
让我们按照除到全部为 1 的标准流程：
- 除以 2：24, 36 -> 12, 18
- 除以 2：12, 18 -> 6, 9
- 除以 3：6, 9 -> 2, 3
- 除以 2：2 不能被 3 整除，直接落下 2；3 被 3 整除得 1。-> 1, 1 (这步有点混淆，让我们用更清晰的文本描述)
实际上，最稳妥的计算方式是将所有的除数和最后一行的商相乘。
除数：2, 2, 3
最后一行剩下的互质数：2, 3
LCM = 2 × 2 × 3 × 2 × 3 = 72。
代码实现：从数学逻辑到程序逻辑
作为技术人员，我们不仅要会算，还要会写。让我们看看如何用 Python 和 C++ 来实现上述逻辑。
#### 1. 辗转相除法求 GCD 再求 LCM（最推荐的方法）
在实际开发中，最高效的方法不是列举倍数，也不是硬做质因数分解，而是利用最大公约数（GCD/HCF）。
公式：LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)
为什么这更好？
因为求 GCD 的算法（欧几里得算法）非常快，时间复杂度极低。对于大整数，这种方法不会溢出且速度最快。
Python 实现：
# 定义一个函数来计算最大公约数 (GCD)
# 我们使用欧几里得算法，这是一种极其高效的递归方法
def compute_gcd(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return compute_gcd(b, a % b)
# 定义基于 GCD 计算 LCM 的函数
def compute_lcm(a, b):
# 公式：LCM = (a * b) // GCD
# 使用整数除法 // 而不是 / 以确保结果是整数
return (a * b) // compute_gcd(a, b)
# 让我们测试一下我们的函数
num1 = 24
num2 = 36
print(f"{num1} 和 {num2} 的 LCM 是: {compute_lcm(num1, num2)}")
# --- 代码解释 ---
# 1. compute_gcd: 这是一个递归函数。它不断用 b 去除 a 的余数来替换 a，直到 b 为 0。
# 2. compute_lcm: 直接应用数学公式。先算 GCD，再用乘积除以它。
# 3. 性能: 这种方法对于处理非常大的数字（例如 100000 和 500000）依然非常快。
#### 2. 暴力循环法（直观但效率低）
有时候，为了快速验证，我们可能会写一个简单的循环。这在面试中可能不是最优解，但逻辑最清晰。
# 这是一个朴素的实现，适合理解逻辑，但不建议用于生产环境的大数计算
def lcm_brute_force(a, b):
# 我们要找的 LCM 一定至少大于等于较大的那个数
greater = max(a, b)
while True:
if greater % a == 0 and greater % b == 0:
# 找到了！既能被 a 整除又能被 b 整除
return greater
# 如果没找到，就检查下一个数字
greater += 1
# 测试
print(f"暴力法计算 24 和 36 的 LCM: {lcm_brute_force(24, 36)}")
# --- 潜在问题 ---
# 如果数字是 24 和 360000，这个循环会跑非常多次，导致程序卡顿。
# 这就是为什么我们在实际工程中优先考虑 GCD 方法的原因。
#### 3. C++ 实现（工程级代码）
如果你在做底层开发或者竞技编程，C++ 的标准库直接提供了算法。
#include
#include // 必须包含这个头文件才能使用 std::lcm (C++17)
// 如果你的编译器不支持 C++17，我们需要手写 GCD
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0)
return a;
return gcd(b, a % b);
}
int lcm_custom(int a, int b) {
// 注意这里：先除后乘，防止 int 溢出
// 如果直接 a * b，当数字很大时可能会超出 int 范围
return (a / gcd(a, b)) * b;
}
int main() {
int num1 = 24;
int num2 = 36;
// C++17 及以后版本可以直接使用 std::lcm
// std::cout << std::lcm(num1, num2) << std::endl;
// 兼容性更好的写法
std::cout << "24 和 36 的 LCM 是: " << lcm_custom(num1, num2) << std::endl;
return 0;
}
// --- 技术细节 ---
// 在 C++ 中，整数溢出是一个常见的 Bug。
// 计算 LCM 时，不要写成 return (a * b) / gcd(a, b);
// 而要写成 return (a / gcd(a, b)) * b;
// 这样先缩小 a 的值，再进行乘法，大大降低了溢出的风险。
实际应用场景：为什么我们要关心 LCM？
你可能会问，这只是小学数学，在实际工作中有什么用？其实，LCM 的应用无处不在：
- 任务调度： 假设有两个周期性任务，一个每 24 分钟执行一次，另一个每 36 分钟执行一次。如果你想知道它们什么时候会同时执行，你需要计算 LCM(24, 36)。答案是 72 分钟后，它们会碰头。
- 齿轮啮合： 在机械工程中，两个齿轮齿数分别为 24 和 36。要保证特定的齿再次相遇，就需要计算 LCM 来确定旋转圈数。
- 音频处理： 在数字信号处理中，两个不同采样率的音频流需要同步，往往需要找到它们周期的最小公倍数来统一缓冲区大小。
进阶探讨：LCM 与 HCF 的关系
我们在前面提到了公式：LCM × HCF = 两个数的乘积。
让我们验证一下 24 和 36：
- 24 = 2³ × 3¹
- 36 = 2² × 3²
- LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 (取最高次幂)
- HCF (最大公约数) = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12 (取最低次幂)
验证乘积：
LCM × HCF = 72 × 12 = 864
原数乘积 = 24 × 36 = 864
完全匹配！这个性质非常有用，特别是在我们已经知道其中一个值的情况下，可以快速求出另一个值。
常见问题与最佳实践
Q1: 如果有多个数字怎么办？比如求 24, 36, 和 40 的 LCM？
A: 我们可以分步计算。
- 先求 LCM(24, 36) = 72。
- 再求 LCM(72, 40)。
* 72 = 2³ × 3²
* 40 = 2³ × 5
* LCM = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360。
所以 LCM(24, 36, 40) = 360。
Q2: 如果其中一个数字是 0 怎么办？
A: 数学上，0 没有倍数（或者说 0 的倍数只有 0）。但在编程中，如果涉及 LCM(a, 0)，通常定义为未定义或错误，或者视具体业务逻辑返回 0 或 a。但在我们讨论的 24 和 36 的场景中，都是非零整数。
总结
在这篇文章中，我们不仅找到了 24 和 36 的最小公倍数是 72，更重要的是，我们经历了一次从“数学概念”到“工程实现”的完整思维训练。
我们掌握了：
- 列举法：适合理解，不适合大数。
- 质因数分解法：数学上的标准解法，逻辑清晰。
- 代码实现：利用 GCD 的高效算法，以及防止溢出的编程技巧。
当你下次在处理循环事件同步、分母通分或者任何涉及周期对齐的问题时，你会知道 LCM 正是你手中的那把钥匙。尝试修改上面的 Python 代码，去解决你自己遇到的实际问题吧！
扩展阅读与练习
如果你想进一步提升，可以尝试解决以下问题：
- 编写一个函数，计算一个数组
[n1, n2, n3, ...]中所有数字的 LCM。 - 如果数字非常大，超过了标准整数类型的范围（例如 Python 中的大整数处理），如何优化 GCD 的计算速度？
希望这篇深入的技术解析能帮助你更好地掌握 LCM 的奥秘。