贝叶斯优化是一种强大的优化技术，它利用贝叶斯推断原理来高效地寻找目标函数的最小值（或最大值）。与需要大量评估的传统优化方法不同，贝叶斯优化在处理昂贵、嘈杂或黑盒函数时特别有效。
本文将深入探讨贝叶斯优化的核心概念、工作原理、优势及应用，帮助我们全面理解为什么它已成为优化复杂函数的首选工具。
目录
- 什么是贝叶斯优化？
- 贝叶斯优化是如何工作的？
- 贝叶斯优化的核心概念
- 贝叶斯优化的优势
- 贝叶斯优化的应用
- 贝叶斯优化的局限性
- 在 Python 中实现贝叶斯优化
- 结论
什么是贝叶斯优化？
贝叶斯优化是一种用于优化评估代价高昂的函数的策略。它通过构建目标函数的概率模型，并利用该模型来选择下一个最有希望进行评估的点来运行。这种方法在目标函数未知、有噪声或评估成本高昂的场景中特别有用，因为它的目标是最小化寻找最优解所需的评估次数。
优化过程主要包含两个核心组件：
- 代理模型： 一个近似目标函数的概率模型（通常是高斯过程）。
- 采集函数： 一种基于代理模型指导选择下一个评估点的效用函数。
贝叶斯优化是如何工作的？
贝叶斯优化有效地结合了统计建模和决策策略来优化复杂、昂贵的函数。下面我们将更详细地解释这一过程，包括关键公式：
1. 初始化
过程首先从几个初始点对目标函数 f 进行采样开始。这些点可以随机选择，也可以通过拉丁超立方采样等系统性方法选择，这有助于确保对输入空间进行多样且全面的覆盖。
2. 构建代理模型
通常使用高斯过程 (GP)作为代理模型。高斯过程因其能够在输入空间的任意点提供均值预测和不确定性度量（方差）而备受青睐。高斯过程由均值函数 m(x) 和协方差函数 k(x, x‘) 定义，它将函数建模为：
f(x) \sim \mathcal{GP}(m(x), k(x, x‘))
其中：
- m(x) 在没有先验知识的情况下通常被假设为零。
- k(x, x‘) 是定义输入空间中任意两点之间协方差的核函数，例如平方指数核：
k(x, x‘) = \exp\left(-\frac{1}{2l^2} \
^2\right)
3. 采集函数最大化
下一个采样点是通过最大化一个采集函数来选择的，该函数在“探索”和“利用”之间进行权衡。常见的采集函数包括：
- 期望提升：
EI(x) = \mathbb{E}\left[\max(f(x) – f(x^+), 0)\right]
其中 f(x^+) 是当前观察到的 f 的最佳值。EI 衡量了相对于当前最佳观察值，目标函数的预期增长量。
- 上置信界：
UCB(x) = \mu(x) + \kappa \sigma(x)
其中 \mu(x) 和 \sigma(x) 是高斯过程在点 x 处预测的均值和标准差，\kappa 是平衡探索和利用的参数。
4. 评估目标函数
随后，我们通过最大化采集函数选出的点 x 来获取 f(x)。这个新的数据点会被添加到数据集中，用于更新高斯过程模型。
5. 迭代
我们重复更新采集函数、选择新点以及更新代理模型的步骤。随着每一次迭代，代理模型变得越来越准确，搜索也会逐渐聚焦于最优解。
6. 终止
优化过程将持续进行，直到满足预定义的停止标准，例如达到最大函数评估次数，或者达到改进变得微小的收敛阈值。
这种结构化的方法允许贝叶斯优化高效地导航复杂的景观，通过智能地平衡对未知区域的探索和对有希望区域的利用，从而最小化定位最优解所需的评估次数。
贝叶斯优化的核心概念
- 高斯过程 (GP)： 高斯过程是一种非参数模型，它定义了函数的分布。在贝叶斯优化中，高斯过程通常被用作代理模型，因为它们不仅提