在物理学中，运动是物体随时间改变其位置的状态。运动从根本上由距离、位移、速率、速度、加速度和时间等物理量来描述。这些物理量可以通过数学方程的形式来表达运动，这些方程被称为运动方程。我们可以通过各种方法来推导这些方程，例如代数法、图解法和微积分法。
本文将重点介绍运动方程及其利用微积分法的推导过程。这对于 11 年级的学生来说非常有用。
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目录
运动基础
物理学中的运动基础是通过距离、位移、速率、速度、加速度和时间等概念来描述的。让我们简要回顾一下：
距离和位移
速率和速度
- 速率：物体覆盖距离的快慢。它是一个标量，计算公式为：距离 / 时间。
- 速度：物体在特定方向上改变位置的快慢。它是一个矢量，计算公式为：位移 / 时间。
加速度
- 加速度：速度随时间的变化率。加速度也是一个矢量，计算公式为：速度的变化量 / 时间。
时间
- 时间：用于衡量事件持续时间或两个事件之间间隔的基本参数。
一共有三个运动方程，也称为牛顿运动方程。这三个方程的表达式如下：
- 第一运动方程：v = u + at
- 第二运动方程：s = ut + 1/2at²
- 第三运动方程：v² – u² = 2as
在上述三个方程中，v 是末速度，u 是初速度，a 是加速度，s 是距离，t 是时间。
现在，让我们通过微积分法来推导这些方程：
利用微积分推导第一运动方程
牛顿第一运动方程指出，末速度等于初速度加上加速度与时间的乘积。用数学表示，第一方程表达为：
v = u + at
在数学上，加速度定义为：
a = dv / dt
对该方程两边关于时间进行积分：
∫(从 u 到 v) dv = ∫(从 0 到 t) a dt
其中 v 是末速度，u 是初速度，a 是恒定加速度，t 是时间。
⇒ ∫(从 u 到 v) dv = a ∫(从 0 到 t) dt
⇒ v – u = at
两边加上 u，我们得到最终形式：
> v = u + at
利用微积分推导第二运动方程
牛顿第二运动方程指出，物体移动的总距离等于初速度与时间的乘积加上加速度与时间平方乘积的一半。第二运动方程的数学表达为：
s = ut + 1/2at²
由于速度是距离的变化率，因此可以用微积分表示为：
v = ds / dt
对该方程两边关于时间进行积分：
∫(从 0 到 s) ds = ∫(从 0 到 t) v dt
现在利用第一运动方程：
∫(从 0 到 s) ds = ∫(从 0 到 t) (u + at) dt
其中 v 是末速度，u 是初速度，s 是位移，a 是恒定加速度，t 是时间。
∫(从 0 到 s) ds = ∫(从 0 到 t) u dt + ∫(从 0 到 t) at dt
由于 u 和 a 是常数：
⇒ ∫(从 0 到 s) ds = u ∫(从 0 到 t) dt + a ∫(从 0 到 t) t dt
⇒ s = ut + at²/2
因此，我们推导出了第二运动方程：
> s = ut + 1/2at²
利用微积分推导第三运动方程
第三运动方程指出，末速度平方与初速度平方之差等于加速度与距离乘积的两倍。数学上，第三运动方程表示为：
v² – u² = 2as
我们从加速度的数学定义开始：
a = dv/dt
两边同时乘以 v：
av = v dv/dt
代入 v = ds/dt 的定义：
a (ds/dt) = v (dv/dt)
这里可以消去时间依赖关系，变为：
a ds = v dv
对两边进行积分：
∫(从 0 到 s) a ds = ∫(从 u 到 v) v dv
由于 a 是常数：
⇒ a ∫(从 0 到 s) ds = ∫(从 u 到 v) v dv
⇒ a [s] (从 0 到 s) = [v²/2] (从 u 到 v)
⇒ a (s – 0) = (v²/2 – u²/2)
⇒ as = (v² – u²) / 2
⇒ 2as = v² – u²
重排后得到最终形式：
> v² – u² = 2as