深入解析累积频率曲线：从基础理论到Python可视化实战

2026-02-17 22:12:56 0条评论 3次阅读 0人点赞

在处理数据分析和统计学的过程中，我们经常需要面对海量的原始数据。盯着满屏的数字表格，不仅让人眼花缭乱，而且很难快速发现数据背后的规律。这时候，可视化图表就成了我们手中的利器。通过图表，我们可以直观地看到数据的分布趋势、中心位置以及离散程度。

在今天的这篇文章中，我们将深入探讨统计学中非常重要的一种图形工具——累积频率曲线（Cumulative Frequency Curve）。无论你是正在学习统计学的学生，还是希望在数据分析项目中更上一层楼的数据科学家，掌握这一技能都将帮助你更高效地理解和展示数据。

我们将从基础概念出发，带你一起理解什么是累积频率，如何手动计算，最终我们将使用 Python 这一强大的工具来自动化绘制这些专业的统计图表。让我们开始这段数据可视化的旅程吧。

什么是频率与累积频率？

在我们深入绘制曲线之前，必须先打好地基。让我们先来理清两个核心概念：频率和累积频率。

频率指的是在某个特定的区间或类别中，事件发生的次数。比如，在一场考试中，分数在 0-10 分之间的人数是 2 人，这里的“2”就是频率。

而 累积频率 则更有意思，它体现了数据的累积过程。简单来说，它是从第一个区间开始，一直到当前区间的所有频率之和。这就像是我们走上楼梯，每上一层台阶，我们到达的总高度就是之前所有台阶高度加上当前台阶高度的总和。

#### 一个简单的入门示例

让我们看一个非常直观的例子，来手动计算一下累积频率。假设我们有以下一组关于区间分布的数据：

区间

频率

:—

0-10

10-20

20-30

5在左边的表格中，我们列出了区间和对应的原始频率。现在，我们要计算“累积频率”。请记住这个核心逻辑：当前类别的累积频率 = 之前所有类别的频率之和 + 当前类别的频率。

计算过程如下：

区间 (0-10)：这是第一个区间，没有之前的频率，所以它的累积频率就是它本身，即 2。
区间 (10-20)：我们需要加上之前的频率。所以累积频率 = 2 (之前的) + 4 (当前的) = 6。
区间 (20-30)：继续累加。累积频率 = 2 + 4 (之前的) + 5 (当前的) = 11。

最终，我们得到了如下的 累积频率表：

区间

频率

累积频率 :—

:—

:— 0-10

2 10-20

6 20-30

这种表格形式虽然准确，但还不够直观。为了更高效地展示数据分布，我们就需要引入图形的方法，也就是今天的主角：累积频率曲线，它还有一个学名叫做 卵形线。

累积频率曲线的两种形态

在实际应用中，根据我们分析问题的角度不同，累积频率曲线主要分为两种类型：

“小于”累积频率曲线：最常用的一种，分析“小于某个数值的数据有多少”。
“大于”累积频率曲线：用于分析“大于某个数值的数据有多少”。

让我们详细拆解这两种类型，并结合 Python 代码来看看如何在实战中应用它们。

#### 1. “小于”累积频率曲线

这是最标准、最常见的累积频率曲线。它的逻辑是：计算并绘制小于各组上限的数据总个数。

计算逻辑

假设我们有一组新的数据：

区间

频率

:—

5-10

10-15

15-20

5为了绘制“小于”曲线，我们需要关注区间的上限，并将频率依次累加。我们来看看计算表：

区间

频率

累积频率计算

累积频率

对应上限 :—

:—

:— 5-10

10 10-15

2 + 4

15 15-20

2 + 4 + 5

绘图原理

在传统手工绘图中，我们会这样操作：

建立坐标系，X 轴代表变量的数值（比如分数），Y 轴代表累积频率。
在 X 轴上标记上限 (10, 15, 20)。
在 Y 轴上标记对应的累积频率 (2, 6, 11)。
用平滑的曲线连接这些点。

Python 实战：绘制“小于”曲线

作为技术人员，手动画图太慢了。让我们用 Python 的 matplotlib 库来实现这一过程。这不仅准确，而且可以直接应用到大数据集上。

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 准备数据
intervals = [‘5-10‘, ‘10-15‘, ‘15-20‘]
frequencies = [2, 4, 5]
upper_limits = [10, 15, 20] # 对应 X 轴

# 2. 计算累积频率
cumulative_freq = []
current_sum = 0
for freq in frequencies:
    current_sum += freq
    cumulative_freq.append(current_sum)

# 打印一下计算结果，方便理解
print(f"区间: {intervals}")
print(f"累积频率: {cumulative_freq}")

# 3. 绘制图形
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 绘制累积频率多边形（折线）
plt.plot(upper_limits, cumulative_freq, marker=‘o‘, linestyle=‘-‘, color=‘b‘, label=‘小于累积频率曲线‘)

# 添加标题和标签
plt.title(‘"小于"累积频率分布曲线示例‘, fontsize=14)
plt.xlabel(‘分数上限‘, fontsize=12)
plt.ylabel(‘累积频数‘, fontsize=12)
plt.grid(True, which=‘both‘, linestyle=‘--‘, linewidth=0.5)
plt.legend()

# 设置坐标轴范围，让图形更美观
plt.xlim(0, 25)
plt.ylim(0, max(cumulative_freq) + 2)

plt.show()

代码解析：

数据准备：我们定义了区间和原始频率。
计算逻辑：通过一个简单的 INLINECODEee449e14 循环，我们实现了频率的累加，得到了 INLINECODEa3584a4b 列表 [2, 6, 11]。
绘图：我们使用 INLINECODE7150c58e，将 X 轴设为上限值，Y 轴设为累积频率。INLINECODE5ee014da 让我们清晰地看到数据点在哪里。

如何利用图形求中位数？

这通常是考试或面试中的一个考点。假设我们手绘了一张累积频率曲线，如何快速找到中位数？

计算 N/2（即总频率的一半）。在这个例子中，总频率 N=11，所以 N/2 = 5.5。
在 Y 轴上找到数值 5.5，画一条平行于 X 轴的直线，直到与曲线相交。
从交点向 X 轴引垂线，垂足在 X 轴上的数值就是中位数。

#### 2. “大于”累积频率曲线

“大于”累积频率曲线的逻辑正好相反。它关心的是：大于某个下限的数据还有多少。这在分析“淘汰率”或“剩余库存”时非常有用。

计算逻辑

在“大于”类型中，我们从最后一个区间开始，倒着向前累加（或者用总数依次减去当前频率）。让我们使用一组稍有不同的数据来演示：

区间

频率

:—

5-10

10-15

15-20

5这里，总频数 N = 20 + 4 + 5 = 29。

我们关注的是区间的下限。计算过程如下：

区间 (5-10)：下限是 5。大于 5 的所有数据就是总数本身，即 20。（注：通常从最后一个区间倒推更符合逻辑，但在“大于”表中，第一行通常代表“大于该组下限的所有频数”）。让我们使用更严谨的“倒推法”：

* 最后区间 (15-20)：大于等于 15 的频数是 5。

* 区间 (10-15)：大于等于 10 的频数是 5 + 4 = 9。

* 区间 (5-10)：大于等于 5 的频数是 9 + 20 = 29。

但在教科书给出的特定示例中，有时为了展示递减规律，会采用“从上往下减”的方式展示，这在视觉上是一条下降的曲线。让我们使用通用的数学定义来编写代码：计算大于或等于下限的累积频率。

区间

频率

累积频率（大于）

对应下限

:—

5-10

29 (总数)

10-15

9 (4+5)

15-20

15Python 实战：绘制“大于”曲线

让我们编写代码来处理这种情况。请注意，对于“大于”曲线，累积频率是递减的（从左到右看），或者是根据下限定义的递增趋势。为了避免混淆，我们通常画出一条表示“剩余数量”的曲线。

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 准备数据
intervals = [‘5-10‘, ‘10-15‘, ‘15-20‘]
frequencies = [20, 4, 5]
lower_limits = [5, 10, 15] # 对应 X 轴下限

# 2. 计算累积频率 (大于等于逻辑)
# 方法：从后往前累加
cumulative_freq_greater = []
current_sum = 0
# 倒序遍历频率列表
for freq in reversed(frequencies):
    current_sum += freq
    cumulative_freq_greater.insert(0, current_sum) # 插入到列表头部保持顺序

print(f"区间: {intervals}")
print(f"累积频率(大于): {cumulative_freq_greater}")

# 3. 绘制图形
plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(lower_limits, cumulative_freq_greater, marker=‘o‘, linestyle=‘-‘, color=‘r‘, label=‘大于累积频率曲线‘)

# 添加标题和标签
plt.title(‘"大于"累积频率分布曲线示例‘, fontsize=14)
plt.xlabel(‘分数下限‘, fontsize=12)
plt.ylabel(‘累积频数 (大于等于下限)‘, fontsize=12)
plt.grid(True, which=‘both‘, linestyle=‘--‘, linewidth=0.5)
plt.legend()

plt.show()

在这个代码中，我们使用了 reversed(frequencies) 来从最后一个区间开始累加。这非常符合“大于”的逻辑——最后一组只有自己，往前每一组都包含后面的所有组。

综合应用与最佳实践

在实际的数据分析工作中，我们很少只手算两三行数据。通常，我们需要处理成千上万条记录，比如分析网站用户的停留时长分布，或者工厂生产零件的尺寸误差分布。

场景：分析学生成绩

让我们假设我们要分析一个班级 50 名学生的数学成绩，并绘制“小于”累积频率曲线来查看成绩分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置随机种子以保证结果可复现
np.random.seed(42)

# 模拟生成 50 个学生的成绩，范围在 0 到 100 之间
scores = np.random.randint(0, 101, 50)

# 定义分组区间
bins = [0, 20, 40, 60, 80, 100]

# 使用 numpy.histogram 计算频率分布
# hist: 各区间的频率数量
# bin_edges: 区间的边界
hist, bin_edges = np.histogram(scores, bins=bins)

# 计算累积频率
cumulative_freq = np.cumsum(hist)

# 获取区间的上限作为 X 轴
# bin_edges 包含所有边界，我们取从第二个元素开始的所有边界作为上限
upper_limits = bin_edges[1:]

print(f"成绩分数段分布: {hist}")
print(f"累积频数: {cumulative_freq}")

# 绘制专业的图表
plt.figure(figsize=(12, 7))

# 绘制平滑曲线（使用更细致的画笔风格）
plt.plot(upper_limits, cumulative_freq, 
         marker=‘D‘, 
         linestyle=‘-‘, 
         color=‘#2c3e50‘, 
         linewidth=2, 
         markersize=8, 
         label=‘累积频率曲线‘)

# 填充曲线下方区域，增加视觉效果
plt.fill_between(upper_limits, cumulative_freq, color=‘#3498db‘, alpha=0.2)

# 标注具体数值
for x, y in zip(upper_limits, cumulative_freq):
    plt.text(x, y + 1, f‘{y}‘, ha=‘center‘, va=‘bottom‘, fontsize=10)

plt.title(‘班级数学成绩累积频率分布图 (N=50)‘, fontsize=16, pad=20)
plt.xlabel(‘分数段上限‘, fontsize=14)
plt.ylabel(‘累积人数‘, fontsize=14)

# 优化网格和刻度
plt.xticks(bins)
plt.grid(axis=‘y‘, linestyle=‘--‘, alpha=0.7)
plt.legend(fontsize=12)

plt.show()

代码深度解析：

数据模拟：我们用 numpy 生成了模拟数据，这比手动输入列表更贴近真实工作场景。
直方图计算：np.histogram 是一个强大的函数，它能自动将杂乱的数据分配到你定义的“桶”里，并计算出每个桶里的数量。
累积求和：np.cumsum 是专门用于计算累积和的函数，它比我们之前手写的循环更高效、更简洁。
可视化增强：我们添加了 INLINECODEdc1674d0 来给曲线下方添加半透明颜色，这在做演示时能让图表看起来更专业。同时，我们添加了 INLINECODE24ea01dd 循环，直接在图表上标注具体的累积数值，让读者不用去对着 Y 轴估读。

常见问题与陷阱

在处理累积频率曲线时，作为开发者，你可能会遇到以下几个“坑”

X 轴定义模糊：

* 对于“小于”曲线，必须使用上限。如果你错误地使用了下限或中点，曲线的物理意义就会改变，导致无法正确读取分位数。

* 对于“大于”曲线，通常使用下限。

分组不连续：

* 如果你的数据分组是 0-10, 20-30 (中间跳过了 10-20)，那么画出来的曲线在中间会有一段断裂或水平延伸。在统计上，我们通常建议使用连续的分组（组限相接），或者使用代码进行预处理（如插值），但在基础的累积频率曲线中，我们假设数据是连续分组的。

首点处理：

* 严格的“小于”累积频率曲线通常从第一组的下限开始（此时累积频率为0），或者直接从第一组的上限开始。为了美观和数学严谨性，有时我们会人为添加一个点 (第一组下限, 0)。

总结与后续步骤

通过这篇文章，我们从零开始，探索了累积频率的数学定义，区分了“小于”和“大于”两种曲线类型，并最终使用 Python 编写了能够处理实际数据的自动化脚本。

核心要点回顾：

累积频率 = 到目前为止的所有频率之和。
“小于”曲线：X 轴对应组上限，曲线呈上升趋势，用于求中位数、四分位数。
“大于”曲线：X 轴对应组下限，通常呈下降趋势（或随下限增加而减小），用于分析剩余数据。
Python 实现：利用 INLINECODEc7f1ccee 和 INLINECODEe5c1af26 可以极大地提高绘图效率和准确性。

给你的建议：

不要仅仅满足于看懂这篇文章。我强烈建议你打开你的 Jupyter Notebook 或 VS Code，找一份你感兴趣的公开数据集（比如 Kaggle 上的数据），试着对其中的一列数值型数据进行分组，并绘制出它的累积频率曲线。当你看到那条优美的曲线在屏幕上呈现出来时，你对数据的理解一定会更上一层楼。

希望这篇文章能帮助你更好地理解统计学中的这一重要工具。如果你在实践过程中有任何问题，欢迎随时回来查阅代码示例。祝你数据分析愉快！

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