哈斯图 (Hasse Diagram) 简介
哈斯图是一种用于表示偏序集中元素之间关系的图形化工具，它通常隐含向上的方向感。
- 偏序集中的每个元素都表示为一个 点。
- 如果 p < q 且不存在元素 r 使得 p < r，那么 p 和 q 之间会连一条线，且 p 位于 q 的 下方。
- 冗余的连接会被省略（例如，如果 A < B 且 B < C，则直接连接 A < C 的线会被跳过）。
- 图中较高的项代表 较大（上位）元素。
****必要条件：**** 要绘制哈斯图，给定的集合必须是一个偏序集。
一个 偏序集 A 是一个二元组 (B, ≤)，其中 B 是一个集合，≤ 是 B 上的一个偏序关系，它必须满足：
> – 自反性 → p ≤ p ∀ p 𝜖 B
> – 反对称性 → p ≤ q 且 q ≤ p 当且仅当 p = q
> – 传递性 → 如果 p ≤ q 且 q ≤ r，则 p ≤ r
绘制哈斯图的步骤
- 列出元素及其关系： 写下集合中的所有元素，并弄清楚它们之间是如何关联的（例如“小于”、“整除”等）。
- 将所有元素画为点： 每个元素用一个点表示。开始时将较小的元素放在底部，较大的元素放在顶部。
- 连接相关的点： 如果一个元素直接与另一个元素相关（如 INLINECODE1b3a88bb 或 INLINECODEdecb81d7），则在它们之间画线。
- 移除不必要的连接： 如果某种关系可以通过其他连接推导出来，就将其省略。例如，如果 INLINECODE734bf203 且 INLINECODE6127ca07，就不需要画从 INLINECODEe4480c7a 到 INLINECODE6a748147 的线。
哈斯图示例
示例 1： 为集合 ({3, 4, 12, 24, 48, 72}, /) 绘制哈斯图。找出其中的极大元、极小元、最大元和最小元。
解答：
> 根据上述问题，首先我们需要找到整除关系的偏序集。
> 设该集合为 A。
> A={(3 \prec 12), (3 \prec24), (3 \prec 48), (3 \prec 72), (4 \prec 12), (4 \prec 24), (4 \prec 48), (4 \prec 72), (12 \prec 24), (12 \prec 48), (12 \prec72), (24 \prec 48), (24 \prec 72)}
> 所以，现在的哈斯图如下所示：
>
> 在上图中，
>
> – 3 和 4 处于同一水平，因为它们互不相关，且都小于集合中的其他元素。
> – 3 和 4 的下一个后继元素是 12，即 12 能被 3 和 4 整除。
> – 然后 24 能被 3、4 和 12 整除。因此，它被放置在 12 的上方。
> – 24 能整除 48 和 72，但 48 不能整除 72。因此 48 和 72 之间没有连线。
>
> 我们可以看到，随着层级的上升，图中体现了传递性。
>
> 极大元是 48 和 72，因为它们位于所有其他元素之后。
> 极小元是 3 和 4，因为它们位于所有其他元素之前。
> 最大元不存在，因为没有哪一个单一元素位于所有其他元素之后。
> 最小元不存在，因为没有哪一个单一元素位于所有其他元素之前。
示例 2： 为 (D12, /) 绘制哈斯图。找出其中的极大元、极小元、最大元和最小元。
解答：
> 这里，D12 表示 12 的正整数因子集合。
> 所以，D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
> 偏序集 A = {(1 \prec 2), (1 \prec 3), (1 \prec 4), (1 \prec 6), (1 \prec 12), (2 \prec 4), (2 \prec 6), (2 \prec 12), (3 \prec 6), (3 \prec 12), (4 \prec 12), (6 \prec12)}
> 所以，现在的哈斯图如下所示-
>
> 在上图中，
>
> – 1 是唯一能整除所有其他元素的元素，且是最小的。因此，它被放置在最底部。
> – 然后我们集合中的元素是 2 和 3，它们互不整除，因此它们被分别放置在同一水平，但都能被 1 整除（都通过线与 1 相连）。
> – 4 能被 1 和 2 整除，而 6 能被 1、2 和 3 整除，因此，4 与 2 相连，6 与 2 和 3 相连。
> – 12 能被所有元素整除，因此，它与 4 和 6 相连，而不必与所有元素相连，因为我们已经将 4 和 6 与较小的元素连接了。
>
> 极大元和最大元是 12，极小元和最小元是 1。
示例 3： 考虑偏序集 ((P, ≤))，其中 (P = {1, 2, 3, 4, 6, 12})，关系 (≤) 是整除。
解答：
> 元素：1, 2, 3, 4, 6, 12
>
> 序关系：1 整除所有数，2 整除 4 和 6，3 整除 6，4 整除 12，6 整除 12。
>
> 12
> / \
> 6 4
>
> 3 2
> \ /
> 1
示例 4： 考虑偏序集 ((P, ≤))，其中 (P = {a, b, c, d})，关系 ≤ 定义为 (a ≤ b), (a ≤ c), (b ≤ d), (c ≤ d)。
解答：
> 考虑偏序集 ((P, ≤))，其中 (P = {a, b, c, d})，关系 (≤) 定义为 (a ≤ b), (a ≤ c), (b ≤ d), (c ≤ d)。元素：a, b, c, d 序关系：, (