柯西中值定理 (Cauchy‘s Mean Value Theorem) 提供了两个函数在固定区间上的变化量与其导数之间的关系。它是拉格朗日中值定理的一个特例。它也被称为广义中值定理或第二中值定理。
> 根据该定理，如果一个函数通过给定的两点 [a, f(a)] 和 [b, f(b)]，那么存在一个点，该点处曲线的切线平行于通过这两个给定点的割线。
对于在 [a, b] 上连续且在 (a, b) 上可微的函数 f(x)，在区间 (a, b) 内存在一点 c，使得
f‘(c) = \frac{[f(b) – f(a)]}{(b – a)}
中值定理的图像如下所示：
定理陈述
柯西中值定理指出，对于满足以下条件的任意两个函数 f(x) 和 g(x)：
- f(x), g(x) 在闭区间 a ≤ x ≤ b 上连续，即 x ϵ [a, b]
- f(x), g(x) 在开区间 a < x < b 内可微，即 x ϵ (a, b)
- 对于开区间 a < x < b 内的所有 x，g'(x)
e0，即 x ϵ (a, b)
那么，在开区间 a < c < b 内存在一点 c，使得：
> \frac{[f(b) – f(a)]}{ [g(b) – g(a)]}= \frac{f‘(c)}{g‘(c)}
示例： 考虑区间 [1, 3] 上的函数 f(x) = x^2 和 g(x)= x。
- f (1) = 1, f (3) = 9, g (1) = 1, g (3) = 3。
- 导数：f′ (x) = 2x, g′ (x) = 1。
应用柯西中值定理 (CMVT)：
\frac{f‘(c)}{g‘(c)} = \frac{f(3) – f(1)}{g(3) – g(1)} \Rightarrow \frac{2c}{1} = \frac{8}{2} \Rightarrow c = 2.
因此，c = 2 满足该定理。
利用罗尔中值定理可以很容易地证明柯西中值定理。柯西中值定理指出，对于任意两个在 [a, b] 上连续且在 (a, b) 上可微的函数 f(x) 和 g(x)，在区间 (a, b) 内存在一点，使得：
> \frac{f‘(c) }{g‘(c)} = \frac{[f(b) – f(a)]}{ [g(b) – g(a)]}
现在，让我们构造辅助函数 F(x)，使得：
F(x) = f(x) + P×g(x)…(i)
在上面的方程中，选择 P 使得 F(x) 在 [a, b] 上始终满足罗尔定理。现在根据罗尔定理的定义，
F(a) = F(b)
⇒ f(a) + P×g(a) = f(b) + P×g(b)
⇒ f(b) – f(a) = P{g(b) – g(a)}
⇒ P = \frac{[f(b) – f(a)]}{[g(b) – g(a)]}
在方程 中：
F‘(x) = f‘(x) – {\frac{[f(b) – f(a)]}{[g(b) – g(a)]}}×g‘(x)
因为 F(x) 满足罗尔定理，所以 F(c) = 0，其中 c ϵ (a, b)
⇒ f‘(c) – {\frac{[f(b) – f(a)]}{[g(b) – g(a)]}}×g‘(c) = 0
⇒ \frac{f‘(c) }{g‘(c)} = \frac{[f(b) – f(a)] }{ [g(b) – g(a)]}
由此，柯西中值定理得证。
柯西中值定理有一些局限性，包括：
- 柯西中值定理仅适用于连续函数。
- 柯西中值定理仅适用于可微函数。
柯西中值定理有各种应用，例如：
- 它用于解决实分析中的各种问题。
- 它用于预测各种曲线的行为。
- 它用于推导拉格朗日和罗尔中值定理等。
相关文章
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示例 1： 求函数 f(x) = 3×2 + 4x + 5 和 g(x) = x2 – x + 25 在区间 [1, 2] 上柯西中值定理中的 ‘c‘。
解决方案：
> 给定，
>
> – f(x) = 3×2 + 4x + 5
> – g(x) = x2 – x + 25
>
> f(x) 和 g(x) 是多项式函数，因此：
>
> – f(x), g(x) 在闭区间 a \leqslant x \leqslant b, x \in [1, 2] 上连续
> – f(x), g(x) 在开区间 a < x < b 内可微，即 x ϵ (1, 2)
>
> 并且 g‘(x) = 2x – 1，在区间 x \in [1, 2] 内不等于 0。
> 因此，柯西中值定理适用于 f(x) 和 g(x)。
>
> – f(x) = 3×2 + 4x + 5
> – g(x) = x2 – x + 25
>
> 对 f(x) 和 g(x) 关于 x 求导：
>
> – f‘(x) = 6x + 4
> – g‘(x) = 2x – 1
>
> 现在，
>
> f(a) = f(1) = 12,
> f(b) = f(2) = 25,
> g(a) = g(1) = 25,
> g(b) = g(2) = 27,
> f‘(c) = 6c + 4, 并且 g‘(c) = 2c – 1
>
> 使用柯西中值定理，
>
> \frac{f‘(c)}{ g‘(c)} = \frac{[f(b) – f(a)]}{[g(b) – g(a)]}
> ⇒ \frac{(6c + 4)}{(2c – 1)} = \frac{(25 – 12)}{(27 -25)}
> ⇒ \frac{(6c + 4)}{(2c – 1)} = \frac{13}{2}
> ⇒ (6c + 4).2 = 13.(2c – 1)
> ⇒ 12c + 8 = 26c – 13
> ⇒ 26c – 12c = 13 + 8
> ⇒ 14c = 21
> ⇒ c = 1.5