引言
在数学探索的旅程中，我们经常会遇到一种有趣的函数关系：一个函数 f 是另一个函数 g 的反函数，这意味着它们的作用相互抵消。如果 g(x) = y，那么 f(y) = x。在这种情况下，这两个函数满足以下关系：
> f(g(x)) = g(f(x)) = x
只有当一个函数既是单射又是满射（即双射）时，它才拥有反函数。函数 f 的反函数通常记为 f-1。
让我们设定 y = f(x) 且 x = f-1。对等式两边进行微分，我们可以得到如下关系：
> \left(f^{-1}\right)‘(x) = \frac{1}{f‘\big(f^{-1}(x)\big)}
这个公式非常有用，它让我们能够利用原函数的导数来求反函数的导数，即便在反函数难以显式计算的情况下也能奏效。
寻找 f 的反函数的步骤
当我们想要找到一个函数的反函数时，通常遵循以下步骤：
- 检查该函数是否为单射且满射（一一对应且满射）。
- 如果该函数可逆，则在 f(x) 的定义中互换 x 和 y。
- 用 x 来表示 y。
- 得到的 y 即为从 B 映射到 A 的 f 的反函数。
> 示例： f(x) = ex
>
> y = ex
>
> 我们将通过 y ↔ x 互换来获得 f(x) 的反函数。
>
> – x = ey
> – y = ln x
>
> 现在，ex 和 ln x 互为反函数。
> !garph
反函数导数之间的关系
如果一个函数 f(x) 是定义在某个区间（假设为 I）上的连续单射且满射（即双射）函数，那么它的反函数也是连续的。此外，如果函数 f(x) 是可微的，那么它的反函数也是可微的。
> [f-1 (x)] = \frac{1}{f‘(f-1(x))}
>
> g‘(x) =\mathbf{\frac{1}{f‘(g(x))}}
在这里，f 和 g 互为反函数。这就是我们常说的反函数定理。
> 证明：
>
> 让我们假设 f 和 g 是反函数，且 x 位于 g 的定义域内，那么：
>
> f(g(x)) = x
>
> 对等式两边关于 x 进行微分：
>
> \frac{d f(g(x))}{x} = \frac{d(x)}{dx}
>
> 现在利用链式法则来求解等式左边（LHS）：
>
> f‘(g(x))g‘(x) = 1
>
> 现在解出 g‘(x)：
>
> g‘(x) = {\frac{1}{f‘(g(x))}}
至此，我们完成了反函数导数的推导。
示例 1： f(x) = ex，验证上述条件是否成立。
> 已知 f(x) = ex
>
> y = ex
>
> x = ln y
>
> g(x) = f-1(x) = ln x
>
> 现在，
>
> f‘(x) = \frac{d}{dx} (ex) = ex
>
> g‘(x) = \frac{d}{dx} (ln x) = \frac{1}{x}
>
> g‘(f(x)) = \frac{1}{e^x}
>
> \frac{1}{g‘(f(x))} = \frac{1}{(\frac{1}{e^x})} = ex
>
> 因此，
>
> f‘(x) = \frac{1}{g‘(f(x))}，等式成立。
示例 2： 设 f(x) = \frac{1}{2} x3 + 3x – 4，且 g 为 f 的反函数，已知 f(-2) = -14。求 g‘(-14)。
> f‘(x) = \frac{1}{2} (3x2) + 3
>
> 根据公式 (1)。
>
> g‘(x) = \mathbf{\frac{1}{f‘(g(x))}}
>
> 因为 f(x) = g-1(x) 且 f(-2) = -14
>
> 所以 g(-14) = -2
>
> 当 x = -14 时，
>
> g‘(-14) = \frac{1}{f‘(g(-14))}
>
> g‘(-14) = \frac{1}{f‘(-2)}
>
> f‘(-2) = \frac{1}{2} (3(-2)2) + 3
>
> f‘(-2) = \frac{12}{2} + 3
>
> f‘(-2) = 9
>
> 因此，g‘(-14) = \frac{1}{9}
让我们通过一个具体的例子来讨论这个概念。假设 g 和 f 互为反函数，下表列出了 f、g 和 f‘ 的一些值。
f(x)
f‘(x)
—
—
4
\frac{-1}{6}
3
\frac{1}{2}我们需要求 g‘(2)。正如题目所述，f 和 g 是反函数。这意味着如果我们有两个集合，假设第一个集合是 f 的定义域。在这个集合中，如果我们从某个 x 值出发，函数 f 会将这个 x 映射到另一个值，即 f(x)。因为 g 是 f 的反函数，所以 g 会将我们带回到第一个集合（即函数 g 的作用）。
!f
因此我们得到：
g(f(x)) = x …(i)
f(g(x)) = x …(ii)
这两个等式都是成立的。
根据等式，我们有：
f(g(x)) = x
现在对等式两边关于 x 进行微分。我们得到：
\frac{d(f(g(x)))}{dx} = \frac{d(x)}{dx}
现在在左边（LHS）应用链式法则，我们得到：
f‘(g(x))g‘(x) = 1
> g‘(x) = \mathbf{\frac{1}{f‘(g(x))}}
现在我们来求 g‘(2) 的值：
g‘(2) = \frac{1}{f‘(g(2))}
通过查表，我们可以得到 g(2) 的值：
g‘(2) = \frac{1}{f‘(8)}
通过查表，我们可以得到 f‘(8) 的值：
g‘(2) = \frac{1}{\frac{1}{2}}
g‘(2) = 2
因此，g‘(2) 的值为 2。
反函数导数的应用
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