微分和积分是两种数学运算，分别用于寻找函数或数量相对于另一个数量在瞬时和一段时间内的变化。微分是瞬时变化率，它针对特定量将函数在该瞬间的变化分解开来；而积分是平均变化率，它是对函数在给定周期或范围内的连续数据进行求和。两者互为逆运算。
在本文中，我们将学习什么是微分、什么是积分，以及与微分和积分相关的公式。
目录
- 微分公式
- 分部微分
- 积分公式
- 分部积分
- 曲线下面积
- 微分与积分的性质
- 微分与积分的区别
什么是微分？
微分是一种用于求函数或曲线相对于其他量的瞬时变化率的方法。从数学上讲，曲线上某点的切线斜率称为曲线或函数的导数，而微分就是求该导数的方法。在微分中，我们计算因变量 ‘y‘ 相对于自变量 ‘x‘ 的变化而变化的速度。这个变化率称为 ‘y‘ 对 ‘x‘ 的导数，其中 y 是 x 的函数，记作 y = f(x)。
如何对函数求导
函数的微分简单来说就是函数在其定义域内所有可微点处的导数。例如，如果 f(x) 在其定义域内的 x = a 处可微。f(x) 在 x = a 处的导数表示为：
> \left.\frac{d}{dx}(f(x))\right|{x=a} =f‘(a)=\lim{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
>
> 其中 h 是自变量 x 的变化量。
例如，如果我们需要求函数 f(x) = x2 的微分。
那么该函数的微分结果为 f‘(x) = 2x。
在这里，在上述步骤中，我们将幂次降为了 1。
微分公式
标准函数的导数可以通过公式求得。我们将学习以下函数的微分公式：
- 代数函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
代数函数的导数
dy/dx
—
nx^{n-1}
-\frac{1}{x^2}
\frac{1}{2√x}### 指数函数的导数
dy/dx
—
ex
ax logea### 对数函数的导数
dy/dx
—
1/x
\frac{1}{x log_ea}了解更多： 对数微分
三角函数的导数
dy/dx
—
cos x
-sin x
sec2x
-cosec2x
sec x.tan x
-cosec x.cot x上述公式适用于函数单独存在或乘以标量的情况，但当两个函数以乘积形式或商的形式出现时，我们不能简单地对每个函数分别求导；我们需要遵循一些特定的规则，特别是对于乘积和商的情况。因此，我们来看看分部微分。
另外，请阅读 反三角函数的微分。
分部微分
函数乘积的微分： 假设 ‘u‘ 和 ‘v‘ 是乘积 中的两个函数，那么 u.v 的微分由乘积法则给出，即：
> \frac{d}{dx}(u.v)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}
函数商的微分： 假设 ‘u‘ 和 ‘v‘ 是商 中的两个函数，那么 u/v 的微分由商法则给出，即：
> \frac{d}{dx}(\frac{u}{v} ) = \frac{v\frac{du}{dx} – u \frac{dv}{dx}}{v^2}
什么是积分？
积分是一种求函数平均变化率的方法。顾名思义，积分意味着将函数的所有点相加。积分这个行为是