旋转曲面的表面积是微积分和工程学中的一个基本概念。它涉及将一条曲线绕轴旋转以形成三维实体，然后确定该实体的表面积。
这一概念在物理学、工程学和制造业等各个领域都有重要的应用。
绕 X 轴旋转时的表面积
考虑一个在区间 [a,b] 上连续且可微的函数 y = f(x)。通过将这条曲线绕 x 轴旋转得到的旋转体的表面积 S 由下式给出：
S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx
绕 Y 轴旋转时的表面积
考虑一个在区间 [c,d] 上连续且可微的函数 x=g(y)。通过将这条曲线绕 y 轴旋转得到的旋转体的表面积 S 由下式给出：
S = 2\pi \int_c^d g(y) \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2} \, dy
考虑 x-y 平面上纵坐标 x = a 和 x = b 之间的平面 y=f(x)。如果该曲线的某一部分绕轴旋转，就会生成一个旋转体。
我们可以通过多种方式来计算这个旋转的表面积，例如：
笛卡尔形式:
曲线弧绕 x 轴旋转所形成实体的表面积为-
S= \int_{x=a}^{x=b} 2\pi y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx
曲线绕 y 轴旋转的表面积为-
S= \int_{y=c}^{y=d} 2\pi x \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy
参数形式: x=x(t), y=y(t)
绕 x 轴:
S=\int{t=t{1}}^{t=t_{2}} 2\pi y(t) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt
绕 y 轴:
S=\int{t=t{1}}^{t=t_{2}} 2\pi x(t) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt
极坐标形式: r = f(θ)
绕 x 轴（即初始线，极轴）:
S= \int{\theta=\theta1}^{\theta 2}2\pi y\frac{ds}{d\theta}d\theta=\int{\theta=\theta1}^{\theta 2}2\pi (r sin\theta) \sqrt{r^2+(\frac {dr}{d\theta})^2}d\theta 此处用 f(θ) 替换 r
绕 y 轴:
S= \int{\theta=\theta1}^{\theta 2}2\pi x\frac{ds}{d\theta}d\theta=\int{\theta=\theta1}^{\theta 2}2\pi (r cos\theta) \sqrt{r^2+(\frac {dr}{d\theta})^2}d\theta 此处用 f(θ) 替换 r
绕任意轴或直线 L:
S= \int 2\pi (PM) ds 其中 PM 是曲线上一点 P 到给定轴的垂直距离。
x 的范围: x = a 到 x = b
S=\int_{x=a}^{x=b} 2\pi (PM)\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx 此处 PM 用 x 表示。
y 的范围: y = c 到 y = d
S= \int_{y=c}^{y=d} 2\pi (PM)\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy 此处 PM 用 y 表示。
例题解析 :
例 1: 求当 y = 2x 绕 x 轴从 x = 0 旋转到 x = 3 时的表面积。
解法:
> f(x) = 2x
>
> f‘(x) = 2
>
> S = 2π ∫[0 to 3] 2x √(1 + 2²) dx
>
> = 2π ∫[0 to 3] 2x √5 dx
>
> = 2π√5 ∫[0 to 3] 2x dx
>
> = 2π√5 [x²][0 to 3]
>
> = 2π√5 (9 – 0) = 18π√5 ≈ 126.65 平方单位
例 2: 求当 y = √x 绕 x 轴从 x = 0 旋转到 x = 4 时的表面积。
解法:
> f(x) = √x
>
> f‘(x) = 1/(2√x)
>
> S = 2π ∫[0 to 4] √x √[1 + 1/(4x)] dx
>
> = 2π ∫[0 to 4] √x √[(4x + 1)/(4x)] dx
>
> = 2π ∫[0 to 4] √[(x(4x + 1))/4] dx
>
> = π ∫[0 to 4] √(4x² + x) dx
>
> = π [(2x²/3 + x/2) √(4x² + x) + (1/8) ln(√(4x² + x) + 2x)][0 to 4]
>
> ≈ 70.21 平方单位
例 3: 求当 y = x² 绕 x 轴从 x = 0 旋转到 x = 2 时的表面积。
解法:
> f(x) = x²
>
> f‘(x) = 2x
>
> S = 2π ∫[0 to 2] x² √(1 + 4x²) dx
>
> = 2π [x³√(1 + 4x²)/3 + (1/24)ln(2x + √(1 + 4x²))][0 to 2]
>
> ≈ 45.35 平方单位
例 4: 求当 y = sin(x) 绕 x 轴从 x = 0 旋转到 x = π 时的表面积。
解法:
> f(x) = sin(x)
>
> f‘(x) = cos(x)
>
> S = 2π ∫[0 to π] sin(x) √(1 + cos²(x)) dx
>
> = 2π ∫[0 to π] sin(x) √(2 – sin²(x)) dx
>
> = 2π [√2 – 2][0 to π] ≈ 26.32 平方单位
例 5: 求当 y = e^x 绕 x 轴从 x = 0 旋转到 x = 1 时的表面积。
解法:
> f(x) = e^x
>
> f‘(x) = e^x
>
> S = 2π ∫[0 to 1] e^x √(1 + e^(2x)) dx
>
> = 2π [√(1 + e^(2x))/2][0 to 1]
>
> = π [√(1 + e²) – √2] ≈ 23.82 平方单位
例 6: 求当 y = 3 – x² 绕 x 轴从 x = -1 旋转到 x = 1 时的表面积。
解法:
> f(x) = 3 – x²
>
> f‘(x) = -2x
>
> S = 2π ∫[-1 to 1] (3 – x²) √(1 + 4x²) dx
>
> = 2π [3x√(1 + 4x²)/2 – x³√(1 + 4x²)/6 + (3/8)arcsinh(2x)][-1 to 1]
>
> ≈ 24.13 平方单位
例 7: 求当 y = x³ 绕 x 轴从 x = 0 旋转到 x = 2 时的表面积。
解法:
> f(x) = x³
>
> f‘(x) = 3x²
>
> S = 2π ∫[0 to 2] x³ √(1 + 9x⁴) dx
>
> 该积分没有初等原函数。我们可以通过数值方法计算它：
>
> S ≈ 67.02 平方单位